《高三数学第21练利用导数研究不等式问题练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第21练利用导数研究不等式问题练习（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第21练 利用导数研究不等式问题训练目标(1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练.训练题型(1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题；(3)利用导数证明与数列有关的不等式.解题策略(1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离.1.已知函数 f (x) = x2 axaln x( a C R).若函数f (x)在x= 1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f (x) x + 5x4x+1. 3262. (2016 烟台模拟)已知函数 f(x)=x2ax,
2、 g(x) = lnx, h(x) = f (x) + g(x).(1)若函数y=h(x)的单调减区间是,；，1 i求实数a的值；2(2)若f (x) g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数 a的取值范围.3. (2016 山西四校联考)已知f (x) =ln xx + a+1.(1)若存在xC(0, +),使得f(x)0成立，求a的取值范围;(2)求证：在 的条件下，当 x1时，；x2+ax axln x+；成立.4. 已知函数 f (x) = (2 - a)ln x+- + 2ax. x 当a1,3，恒有(mln3)a21n 3| f (x)一f (x明成立，求实数m的取值范围.5.
3、(2017 福州质检)设函数 f (x) = ex- ax- 1. 当a0时，设函数f(x)的最小值为g( a),求证：g(a)w。；(2)求证：对任意的正整数n,都有1n+1+2n+1 + 3n+1+ nn+10),可知 g(x)在(0,1)上是减函数,x xx十 0)上是增函数，所以g(x) g(1) =0,所以f(x)、,324x + /成立.3262.(1)由题意可知，h(x) =x2ax + ln x(x0),2x2ax+1h (x) =(x0),xh(x)的单调减区间是h (1) = h2j= 0,解得 a=3,而当 a=3时，h (x) =2x23x+ 1 (2x- 1)( x-
4、 1)(x0).1由h，(x)ln x(x0),a0). x令(f) (x) =x-ln-(x0), x,x2+ln x-1贝 U (j)( x) =-2,x. y=x2+ ln x- 1 在(0 , 十0)上是增函数，且 x=1 时，y = 0.当 xC (0,1)时，()(x)0,即(f)(x)在(0,1)上是减函数，在(1 , +8)上是增函数,(f)(X)min=()(1) = 1 ,故 a0,使得 ln x-x+ a+1 0,.a lnx+x 1,令 g(x) = ln x + x 1,贝U g，(x) = - -+ 1 =-.x x令 g (x) = 0,解得 x= 1.丁当 0x
5、1 时，g (x)1时，g (x)0, g(x)为增函数,g(x) min= g(1) =0, ag(1) =0.故a的取值范围是0, +8).(2)证明原不等式可化为 gx2 + axxln xa20(x1, a0).令 G(x) =2x2+ ax-xln x- a-2,则 G(1) = 0.由(1)可知 xIn x-10,则 G (x) = x+a lnx1x lnx10, .G(x)在(1 , +00)上单调递增, .G(x)G(1) =0 成立,%2+ ax-xln x a20 成立,口J 2.即 2x + ax - axln x +4.解(1)求导可得f (x) =3-*2a= x
6、x(2x 1)( ax+1)+ oo )内单调递减;(x)0 , f(x)单调递减，在区间(；一3) 2 a人,11令 f (x) = 0,得 x1 = , x2=- 2 a当a=2时，f (x)w0,函数f(x)在定义域(0当一2a0, f(x)单调递增;当a 2时，在区间(0 , ), (, +)上f x x)0 , f(x)单调递增.(2)由 知当aC( 3, 2)时，函数f(x)在区间1,3上单调递减，所以当 x 1,3时，f(x)max= f(1)=1 + 2a, f(x)min=f (3) =(2 a)ln 3 +1 + 6a. 3问题等价于：对任意的aC( 3, 2),恒有(出
7、ln 3) a 21n 31 +2a-(2-a)ln 3 1一3八r26a 成立，即 an-4a,3因为a0,所以m0及f (x) = ex a可得，函数f (x)在(一8, 1n a)上单调递减，在(1n a, +)上单调递增，故函数 f(x)的最小值为 g(a) = f(ln a) = e1na aln a- 1 = a -aln a- 1,则 g (a)= lna,故当 aC (0,1)时，g (a)0;当 aC (1 , +8)时，g，( a)0,从而可知g( a)在(0,1)上单调递增,在(1 , +8)上单调递减，且 g(1) =0,故g( a) 0,当且仅当x=0时等号成立，即当 x0时，总有exx+1.于是，可得(x+1)n+1(ex)n+1=e(n+1)x.令x+仁系，即x=-舟，可得岛)“；令x+仁信，即*=一充,可得后尸屋(1)令x+1=p，即X一号，可得岛广丁一2)令x+1二号,即+ 11x=f可得对以上各式求和可得:n+ 1e n(1 -en)1 e+ 1 十+1+-1 1-e n 1n+ 1n+e(nT)+ eS2)+ + e 1J1- ee-1 e- 11.故对任意的正整数 n,都有 1n+1+2n+1 + 3n+1 + -+ nn+1(n + 1)n+1
