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1、第十四章幂级数1幂级数概念：由幂函数序列an(x-x0)n所产生的函数项级数a(x-xn0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(x-x0)n+称为幂级数.特别地，当x0=0时，有axn=a0+a1x+a2x2+anxn+定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数axn在x=x0处收敛，则对满足不等式|x|x|的任何x，幂级数n=0nn=0一、幂级数的收敛区间nn=0nn=0nn=0anxn发散.证：设级数axn收敛，从而数列axn收敛于0且有界，即|anxn|=axnx=|axn|xMrn.又级数Mrn收敛，xx对满足不等式|x|x|且使axn收敛，n=0nnn=0存在某正数M，使
2、得|axn|M(n=0,1,2,).n又对任一个满足不等式|x|x|的x，可设r=x|x|的任何x，幂级数axn发散.注：由定理14.1可知，幂级数axn的收敛域是以原点为中心的区得幂级数ax收敛的收敛点绝对值的上确界.所以幂级数axnn在x=R处，不确定.(-R,R)称为幂级数axn的收敛区间.limn|a|=，则当定理14.2：对于幂级数axn，若n(1)0+时，幂级数axn的收敛半径R=；1(2)=0时，幂级数axn的收敛半径R=+；(3)=+时，幂级数axn的收敛半径R=0.limn|axn|=limn|a|x|=|x|，证：对于幂级数axn，根据级数的根式判别法，当|x|1时，axn
3、收敛.nnnn=0nn=0nn=0间.若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径.R就是使nnn=0n=0当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+时，在(-,+)上收敛；当0RR的x，发散；nn=0nnn=0nn=0nn=0nn=0nnnn=0nn=0当0+时，由|x|1得幂级数axn的收敛半径R=；1nlim证：记an=,则1|an+1|nlim=1，R=1.xn注：级数与n!xn的收敛半径分别为R=+与R=0.n|a|an+1|1lim解：记an=,则=lim=1，R=1.nn=0当=0时，R=+；当=+时，R=0.注：也可由比式判别法lim|an+1|=limn|a|=，来求出幂级数
4、axn的nnnn=0收敛半径.例1：求级数xn的收敛半径R及收敛域.n2n2n2n|a|n(n+1)2n又当x=1时，(1)n=1，由级数1收敛，知xn在x=1收敛.n2n2n2n2级数xn的收敛域为-1,1.n2例2：求级数xn的收敛半径R及收敛域.nnnn|a|n+1n又当x=1时，级数1发散；当x=-1时，级数(-1)n收敛.nn级数xn的收敛域为-1,1).nn!n=0n=0定理14.3：(柯西阿达马定理)对幂级数axn，设=limn|a|，则nnn根据级数的根式判别法，当|x|1时，axn收敛.当0+时，由|x|1得幂级数axn的收敛半径R=1；2n例4：求级数x2n的收敛域.nnn
5、=0(1)当0+时，R=1；(2)当=0时，R=+；(3)当=+时，R=0.证：对于任意x,limn|axn|=limn|a|x|=|x|，nnnn=0nn=0当=0时，R=+；当=+时，R=0.例3：求级数1+x+x2+x3+x4+x2n-1+x2n+的收敛域.322332432n-122n解：limn|a|=1，R=2.n又当x=2时，原级数都发散，原级数的收敛域为(-2,2).n-32nn=1解：方法一：lim2n|a|=lim2nnnn1n-32n=1lim3n2n11-n32n=1，R=3.3=1lim=x21，即|x|0)，则axn在它的收axn在x绝对收敛，由优级数判别法知axn
6、在a,b上一致收敛.定理14.5：若幂级数axn的收敛半径为R(0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则axn在0,R(或-R,0)上一致收敛.证：设幂级数axn在x=R收敛，对于x0,R有axn=aRnx.nR已知级数aRn收敛，函数列x在0,R上递减且一致有界，即R1xxx0.由阿贝尔判别法知原级数的收敛域为(-3,3).nnn=0n=0敛区间(-R,R)内任一闭区间a,b上都一致收敛.证：设x=max|a|,|b|(-R,R)，则任一xa,b，都有|anxn|anxn|.nnn=0n=0nn=0nn=0nnnn=0n=0n=0nnn=02nRRRaan=0nnxn在0,R上一致收敛.同理可
7、证：xn在x=-R收敛时，在-R,0上一致收敛.n=0例5：考察级数(x-1)n的收敛域.2nn解：lim|an+1|=lim=1，R=2.=limn|a|n|2n+1(n+1)|n|2nn|nn2(n+1)2又当x-1=2时，原级数=1发散；当x-1=-2时，(-2)n=(-1)n收敛.n2nnnx-1-2,2)，原级数的收敛域为-1,3).定理14.6：(1)幂级数axn的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数axn在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在定理14.7：幂级数axn在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：naxn-1与anxn+1，它们的收敛区间都是(-R,R).n+1证法一：设x0为幂级数axn在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，对一切正整数n，都有|anx0n|Mrn.于是|nanx0n-1|=n|anx0n|Mnrn.二、幂级数的性质nn=0nn=0这一端点上右(左)连续.nn=0nn=1n=0nn=0由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M与r(1)，x00由级数比式判别法知级数nrn收敛，根据级数的比较原则知，naxn-1收敛.由x0为(-R,R)上任一点，知nax
