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1、第十四章幂级数1幂级数概念:由幂函数序列an(x-x0)n所产生的函数项级数a(x-xn0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(x-x0)n+称为幂级数.特别地,当x0=0时,有axn=a0+a1x+a2x2+anxn+定理14.1:(阿贝尔定理)若幂级数axn在x=x0处收敛,则对满足不等式|x|x|的任何x,幂级数n=0nn=0一、幂级数的收敛区间nn=0nn=0nn=0anxn发散.证:设级数axn收敛,从而数列axn收敛于0且有界,即|anxn|=axnx=|axn|xMrn.又级数Mrn收敛,xx对满足不等式|x|x|且使axn收敛,n=0nnn=0存在某正数M,使
2、得|axn|M(n=0,1,2,).n又对任一个满足不等式|x|x|的x,可设r=x|x|的任何x,幂级数axn发散.注:由定理14.1可知,幂级数axn的收敛域是以原点为中心的区得幂级数ax收敛的收敛点绝对值的上确界.所以幂级数axnn在x=R处,不确定.(-R,R)称为幂级数axn的收敛区间.limn|a|=,则当定理14.2:对于幂级数axn,若n(1)0+时,幂级数axn的收敛半径R=;1(2)=0时,幂级数axn的收敛半径R=+;(3)=+时,幂级数axn的收敛半径R=0.limn|axn|=limn|a|x|=|x|,证:对于幂级数axn,根据级数的根式判别法,当|x|1时,axn
3、收敛.nnnn=0nn=0nn=0间.若以2R表示区间的长度,则称R为幂级数的收敛半径.R就是使nnn=0n=0当R=0时,仅在x=0处收敛;当R=+时,在(-,+)上收敛;当0RR的x,发散;nn=0nnn=0nn=0nn=0nn=0nnnn=0nn=0当0+时,由|x|1得幂级数axn的收敛半径R=;1nlim证:记an=,则1|an+1|nlim=1,R=1.xn注:级数与n!xn的收敛半径分别为R=+与R=0.n|a|an+1|1lim解:记an=,则=lim=1,R=1.nn=0当=0时,R=+;当=+时,R=0.注:也可由比式判别法lim|an+1|=limn|a|=,来求出幂级数
4、axn的nnnn=0收敛半径.例1:求级数xn的收敛半径R及收敛域.n2n2n2n|a|n(n+1)2n又当x=1时,(1)n=1,由级数1收敛,知xn在x=1收敛.n2n2n2n2级数xn的收敛域为-1,1.n2例2:求级数xn的收敛半径R及收敛域.nnnn|a|n+1n又当x=1时,级数1发散;当x=-1时,级数(-1)n收敛.nn级数xn的收敛域为-1,1).nn!n=0n=0定理14.3:(柯西阿达马定理)对幂级数axn,设=limn|a|,则nnn根据级数的根式判别法,当|x|1时,axn收敛.当0+时,由|x|1得幂级数axn的收敛半径R=1;2n例4:求级数x2n的收敛域.nnn
5、=0(1)当0+时,R=1;(2)当=0时,R=+;(3)当=+时,R=0.证:对于任意x,limn|axn|=limn|a|x|=|x|,nnnn=0nn=0当=0时,R=+;当=+时,R=0.例3:求级数1+x+x2+x3+x4+x2n-1+x2n+的收敛域.322332432n-122n解:limn|a|=1,R=2.n又当x=2时,原级数都发散,原级数的收敛域为(-2,2).n-32nn=1解:方法一:lim2n|a|=lim2nnnn1n-32n=1lim3n2n11-n32n=1,R=3.3=1lim=x21,即|x|0),则axn在它的收axn在x绝对收敛,由优级数判别法知axn
6、在a,b上一致收敛.定理14.5:若幂级数axn的收敛半径为R(0),且在x=R(或x=-R)收敛,则axn在0,R(或-R,0)上一致收敛.证:设幂级数axn在x=R收敛,对于x0,R有axn=aRnx.nR已知级数aRn收敛,函数列x在0,R上递减且一致有界,即R1xxx0.由阿贝尔判别法知原级数的收敛域为(-3,3).nnn=0n=0敛区间(-R,R)内任一闭区间a,b上都一致收敛.证:设x=max|a|,|b|(-R,R),则任一xa,b,都有|anxn|anxn|.nnn=0n=0nn=0nn=0nnnn=0n=0n=0nnn=02nRRRaan=0nnxn在0,R上一致收敛.同理可
7、证:xn在x=-R收敛时,在-R,0上一致收敛.n=0例5:考察级数(x-1)n的收敛域.2nn解:lim|an+1|=lim=1,R=2.=limn|a|n|2n+1(n+1)|n|2nn|nn2(n+1)2又当x-1=2时,原级数=1发散;当x-1=-2时,(-2)n=(-1)n收敛.n2nnnx-1-2,2),原级数的收敛域为-1,3).定理14.6:(1)幂级数axn的和函数是(-R,R)上的连续函数;(2)若幂级数axn在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在定理14.7:幂级数axn在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数:naxn-1与anxn+1,它们的收敛区间都是(-R,R).n+1证法一:设x0为幂级数axn在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点,对一切正整数n,都有|anx0n|Mrn.于是|nanx0n-1|=n|anx0n|Mnrn.二、幂级数的性质nn=0nn=0这一端点上右(左)连续.nn=0nn=1n=0nn=0由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知,存在正数M与r(1),x00由级数比式判别法知级数nrn收敛,根据级数的比较原则知,naxn-1收敛.由x0为(-R,R)上任一点,知nax