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1、导数中极值和最值问题的研究与拓展精品资料专题 3.1：导数中极值和最值问题的研究与拓展【探究拓展】探究 1：已知函数 f ( x)x 3ax 2bxa 2 在 x 1处有极值 10，则 ab_. -7变式 1：已知函数 f xx4ax32x2b ，其中 a, b R 若函数 fx仅在 x 0 处有极值，则 a 的取值范围是.8 , 833变式 2：已知函数 f ( x)1 x46x 2cxd 既有极大值又有极小值，实数c 的取值范围是4_.16,16首先转化为导函数（三次函数）至少有两个互异实数根变式 3：若 x 1 是定义在 R 上的函数 f(x)极小值点，且为_. a3极小值小于等于0 小
2、于等于极大值2则 a 的取值范围f (x)=(x-1)(x -ax+2),变式 4：设函数 f ( x)( x2) 2 ( xb)ex ，若 x2 是 f ( x) 的一个极大值点，则实数b 的取值范围为_. b2变式 5：下列关于函数 f ( x)(2xx2 )ex 的判断正确的是 _. f (x) 0 的解集是 0,2 ；f (2 ) 是极小值， f ( 2) 是极大值； f ( x) 没有最小值，也没有最大值 .变式 6：对于函数 f (x) x3ax 2x1的极值情况， 4 位同学有下列说法：甲：该函数必有2 个极值；乙：该函数的极大值必大于1丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程 f
3、(x) 0一定有3 个不等的实数根这四种说法中，正确的个数为_ 3 只有丁错误探究 2：设 f ( x)1 x3 1 x 22ax32（1）若函数在1 , 2上单调递增，求实数 a 的取值范围；23（2）若函数在2,上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； a139仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 2精品资料（3）当 0a2 时， f ( x) 在 1,4 上的最小值为16 ，求 f ( x) 在该区间上的最大值 .3解：（ 2） f (x) 在 (2 , ) 上存在单调递增区间，即存在某个子区间 (m, n)(2, )使得31 ) 21 ( x) 在区间 2 ,3f ( x)0
4、.由 f ( x)x2x2a(x2a ， f) 上单调递减，则243只需 f ( 2 )0 即由 f ( 2)22a 0 解得 a1 ，3399所以，当 a1 时， f (x) 在 ( 2 ,) 上存在单调递增区间 .93（3）令( )01118a2118afx， x.，得两根 x22所以 f ( x) 在 (, x1 ) ， ( x2 ,) 上单调递减，在 ( x1 , x2 ) 上单调递增当 0a2 时，有 x11x24 ，所以 f (x) 在 1,4 上的最大值为 f ( x2 )又 f (4)f (1)276a0，即 f (4)f (1)24016 ，得 a所以 f ( x) 在1,4
5、上的最小值为 f (4)8a1 ， x22 ，33从而 f ( x) 在1,4上的最大值为 f (2)10 .3变式：设函数 f (x)ln xx22ax a2 , aR ，（1）若 a0 ，求函数 f (x) 在 1,e上的最小值；（2）若函数 f (x) 在1 , 2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；2（3）求函数 f (x) 的极值点解：（ 1） f (x)min1；（2）使 f (x)0在1 , 2上有解，得 a924（3）当 a2 时， f ( x) 没有极值点；当 a2 时， xaa22是函数的极大值点， xaa22 是函数的极小值点22探究 3：已知 mR ， f ( x
6、)x33(m1) x212mx1.（1）若 f ( x) 在区间0,3 上无极值点，求实数 m 的值 . 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 3精品资料（2）若存在 x00,3 ，使得 f ( x0 ) 是 f (x) 在 0,3 上的最值，求实数 m 的取值范围 . m1 或34m3探究 4：设函数 f(x)=ax2+ex(aR)有且仅有两个极值点x1，x2(x1x2)(1) 求实数 a 的取值范围；2(2) 是否存在实数 a 满足 f(x1)= e3 x1 ?如存在，求 f(x)的极大值；如不存在，请说明理由解：(1) f ( x) =2ax+ex显然 a0， x1 ，x2 是直
7、线 y=1与曲线 y=g(x)= xx 两交点的横坐标2ae（思考为何要这样变形？）2 分由 g ( x) = 1 x x =0，得 x=1列表：ex(-， 1)1(1， + )g ( x)+0-g(x)g(x) =1maxe4分此外注意到：当 x0 时， g(x)0；当 x0， 1及 x(1， +)时， g(x)的取值范围分别为 0， 1 和(0， 1 )ee于是题设等价于 01 1a e ，故实数 a 的取值范围为 (-， e )6分2ae22(2)存在实数 a 满足题设证明如下：由(1)知， 0 x11x2，x1 =0，f (x1 ) =2ax1+ e故 f(x12xxx1x2ex11 x2e3 xe 30分)=ax+ e 1= e11=，故e112e1x128记 R(x)= ex21exe3 (0x1)，则 R ( x) = ex ( x1)1ex0 ，x2x22于是， R(x)在 (0，1)上单调递减又 R( 2 )=0，故 R(x)有唯一的零点 x= 2 33仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 4精品资料2x2从而，满足 f(x1)=e 3 x1 的12所以， a=e 13312 分x =32x14e此时 f(x)=322x32x3
