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1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文中学数学中的数形结合思想Several of the middle school Mathematics form combining ideas姓 名：学 号：0807010040学 院：数学与信息科学学院专 业：数学与应用数学指导老师：副教授完成时间：2021年4月5日【摘要】在中学数学中有很多数学方法，其中数形结合思想是中学数学中一种重要方法，它将代数与几何相结合，利用数形之间相互转换，有利于分析题中的数量之间关系，丰富想象，化繁为简，化难为易，一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,
2、将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。提高分析和解题的能力从而到达简易的解题方法，最终方便我们的解题。我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在中学数学中的应用：1在集合中的应用；2在解方程中的应用；3在解不等式中的应用；4在解析几何上的应用；5在解决最值、值域问题上的应用。通过分析、比拟和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。【关键词】中学数学 数形结合 应用 思想方法Several of the middle school Mathematics form combining ideas Huangp
3、ing【 abstract 】 in the middle school mathematics has lots of mathematical methods, including several form combining ideas middle school mathematics is one of the most important methods, it will algebra and geometry, and the combination of using several shape transformation between, be helpful for an
4、alysis problem of the relation between the quantity, rich imagination, change numerous hard things simple, easy, on the one hand, graphic nature of many of the abstract will math concepts and visual and quantitative relationship between simplified, give a person with intuitive enlightenment. On the
5、other hand, will graphics problem into the algebra problem, in order to obtain the accurate conclusions. Improve the analysis and problem solving ability so as to achieve simple problem solving method, the final convenient our problem solving. I will from the following several aspects to discuss sev
6、eral form combining ideas middle school mathematics in the application: (1) the application of the set; (2) in the process of the application of the solution; (3)the application of inequality in solution; (4)in the application of analytic geometry; (5)to solve the most value, domain in its applicati
7、on. Through the analysis, comparison and induction show several form combining ideas of problem in the characteristic and advantages, which in actual teaching will form together with several ideas to the classroom, training students strengthen the consciousness of combining ideas number form.【Key wo
8、rds】 Middle school mathematics Several form combined with An application example Thought method目录1引言12数形结合思想的概念13数形结合思想在中学数学中的应用231数形结合思想在集合中的应用2数形结合思想在方程的应用3数形结合思想在不等式中的应用4数形结合思想解决最值、值域问题6 数形结合思想在解析几何中的应用84培养学生数形结合思想的一些教学措施9 5小结106参考文献111引言在数学思想中，有一类思想是表达根底数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为根本数学思想。中学阶段的根本
9、数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学中处处渗透着根本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在开展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的根本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合
10、在一起的。而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？2数形结合思想的概念数与形是数学中的两个最古老，也是最根本的研究对象，它们在一定
11、条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大局部，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来说明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来说明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形，而第二种情形是“以形助数。“以数解形就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方
12、法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能防止复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中
13、的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。3数形结合思想在中学数学中的应用数形结合思想在集合中的应用1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交那么表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。例1某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科
14、的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。选自?王后雄高考标准诠释?解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共局部正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，那么有：B(理) A数C(化) 即：参加竞赛总人数为965人.2利用数轴解决集合的有关运算例2集合,假设，求的范围。假设，求的范围。-13分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有： ，这时的值不可能存在要使， 当时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即。-13当时，显然成立。故时的取值范围为：在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法
