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1、课程主题表面积和体积的综合变化课前热身：如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱. 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.） 长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体=2（ab bc ca）；长方体的体积：V长方体=abc . 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.如果它的棱长为a，那么：S正方体 =6a2，V正方体二a3.立体图形的体积计算常用公式:立体图形示例体积公式相关要素长方体刁V =abhV=Sh三要素：a、b、h二要素：S、h/正方体V =a3V=Sh一
2、要素：a二要素：S、h知识精讲:【例1】 将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有 。【考点】长方体与正方体【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，8题【解析】对于图c来说，每个小方块都摞了 2层，最多有6块【答案】6【例2】 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条（如图所示）在三个方向上的加固.所用尼龙编织条分别为 365厘米，405厘米，485厘米.若每个尼龙加 固时接头重叠都是5厘米.问这个长方体包装箱的体积是多少立方米 ？高【考点】长方体与正方体【难度】3
3、星 【题型】解答【关键词】第六届，华杯赛，决赛，口试【解析】长方体中高宽二2（365 -5） =180，高长二；（405 -5） =200，（2）长宽=丁 （485 - 5） =240，一：长一宽=20 ,：长=130，从而宽=110,代入得高二70.所以长方体体积为70 110 130=1001000（立方厘米）=1.001（立方米）【答案】1.001【例3】 把一根长2.4米的长方体木料锯成5段（如图），表面积比原来增加了 96平方厘米这 根木料原来的体积是方厘米./H2.4米【考点】长方体与正方体【难度】3星 【题型】填空【关键词】第十五届，迎春杯，决赛【解析】96-：-8 =12（平方
4、厘米），12 240 =2880 （立方厘米）.所以这根木料原来的体积为2880立方厘米.【答案】2880【例4】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看 如右下图，块木块。【难度】3星【题型】填空【考点】长方体与正方体【关键词】2005年，第三届，走美杯，五年级，决赛，第 8题，10分【解析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示（图中数字为每一格的木块数）312321223123310000200003【答案】最多25,最少9【例5】 有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的1与高的3之和比宽多1厘23米.这个长方体的体积是 立方厘米.【考点】长方体与
5、正方体【难度】3星 【题型】填空【关键词】第十一届，迎春杯【解析】长的1即宽，所以高的3就是1厘米，高是3厘米，宽是3 3=9厘米，长是9 2=18厘23米，体积是3 9 18 =486（立方厘米）.【答案】486【例6】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是288cm3，则大长方体的表面积为多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以 从图中发现隐含的数量关系.由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3:2 ,四个高等于一个长，所以长、高之比
6、为 4:1，长、宽、高之比为12:8:3，设砖的长为 12单位，那么体积应该为12 8 3=288个立方单位，所以一个单位长度就是 1厘米， 所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米，12厘米，11厘米，所以大长方体的表 面积为：（24 12 12 11 11 24） 2=1368 平方厘米.【答案】1368【例7】 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】4星 【题型】解答【解析】把碎石沉没在水中
7、，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积.因此，沉入水池中的碎石的体积是33 3 0.06 =0.54（米），而沉入小水池中的碎石的体积是 2 2 0.04 =0.16（米3）.这两堆碎石的体积一共是0.54 0.16 =0.7（米3）.把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3.而大水池的底面积是6 6 =36（米3）.所以水面升高了0.7“36=.7（米）=7 （厘米）=117（厘米）.363618故大水池的水面升高了 117厘米.18【答案】11718【例8】 如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平
8、行于正方体的棱），且穿透.另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米若将正 方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米.【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2009年，迎春杯，初赛，6年级【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为3厘米；中间一层为4个长方体立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯 定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了 h厘米，则中
9、间一层在水中的部分恰好为h厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：15 12 h =（102 -42） 3 324 h，解得 h =7，4故铁块在水下部分的体积为15 12 7 =315（立方厘米）.4【答案】315【例9】 把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是 整厘米数.如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成 个小正方体.【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空【关键词】第九届，迎春杯，决赛【解析】因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米.必须分割出棱长是2厘米的小正方体 才能使数量
10、减少.显然，棱长是 3厘米的正方体只能切割出一个棱长为 2厘米的小正 方体，剩余部分再切割出3 3 3-2 2 2 =27 -8 =19个棱长是1厘米的小正方体，这样 总共可以分割成19=20（个）小正方体.【答案】20【例10】把一个长方体形状的木料分割成 3小块，使这3小块的体积相等.已知这长方体的长 为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米.分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分害线的图.除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在 图2的各图中.图1图2【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】分割方法很多，如图3,给出以下9种分割方法:图4【答案】答案
11、不唯一，给出以下 9种分割方法：【例11】如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2厘米的正方形, 然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？r29IAI13【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第三届，华杯赛，复赛【解析】容器的底面积是（134） （9一4）=45（平方厘米）,高为2厘米，所以容器的体积是,45 2 =90 （立方厘米）.【答案】90【例12】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的 切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次 剩余的部分尽可能大的
12、切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】5星 【题型】解答【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12=7:5: 4，为了方便起见.我们 先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为7 5 4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：21 15 12-123，93，63 =1107 （立方厘米）.66129【答案】1107【例13】用棱长
13、为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图 所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体.【难度】4星【题型】填空【考点】长方体与正方体 【关键词】2009年，希望杯，六年级【解析】根据视图可以画出原立体图形，如右图所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立 方体，白色部分则不可以有小立方体.这些小立方体可以分为角上的和棱上的两种，其中角上的有23 8 =64个，棱上的有12个（每条棱上1个），所以总共最多有64*12=76个.【答案】76【例14】如图，已知A、B、C分别是相邻的三条棱的中点沿三个中点连成一个正三角形，把 原来的立方体切掉一角.如果原来的立方体棱长为8，求：
14、 切掉的小部分的体积是多少?剩下的大部分的体积是多少?【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】本题应用相关体积公式.1112V锥二 Sh二沐42 4 =1033 23V剩工83 -V锥工501；【答案】5013【例15】选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是（）.OO-ACD【考点】长方体与正方体【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008年，清华附中，入学测试【解析】图中A、C、D项展开后的图形均为下图，只有 B项展开后的图形与题中左边图形相 符，所以答案为B .O0【答案】B【例16】图1是下面的表面展开图 甲正方体； 乙正方体； 丙正方体;甲正方体或丙正方体.【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】选择【解析】从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的 两块阴影，从而排除乙故选甲答案为 .【答案】10厘米，高为1
