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1、精品文档教师版第五单元第4 讲离散型随机变量的分布列（6 课时）一 .基本理论( 一 )基本概念(1) 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母,等表示.(2) 离散型随机变量 :如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 .例如 ,射击命中环数是一个离散型随机变量 .(3) 连续型随机变量如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.（二）离散型随机变量的分布列1.设离散型随机变量可能取的值为 x,x,x, , 取每一个值 x(i 1,2,3,4) 的概率12n
2、iP(xi ) pi ,则称下表x1x2xnPp2pip1为随机变量的概率分布 ,简称为的分布列 .分布列的表达式可以是如下的几种(A) 表格形式 ;(B) 一组等式(C) 压缩为一个帶i的形式 .2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质:(A) pi0,i1,2,3,(B) p1p213. 求分布列三种方法(1) 由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2) 由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3) 由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列4.离散型随机变量的期望与方差一般地 ,若离散型随机变量的概率分布列为x1x2xnPp1p2pi则称 Ex p1xp2xp
3、n为的数学期望或平均数.或均值 .12n精品文档精品文档D( x1E )2 p1( x2E ) 2 p2( xnE ) 2 pn为的均方差.简称方差. D叫标准差 .性质:(1)DE( 2)( E) 2(2) E( ab) aEb (3)D( a b) a2 D（三）几种常见的随机变量的分布1.两点分布如果随机变量X 的分布列为X10Ppq其中 0p1， q 1p，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布2.二项分布在一次随机试验中 ,某事件可能发生也可能不发生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量 .若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在 n 次独立重复试验中这
4、个事件恰好发生k 次的概率是 P(k) Cnk pk qnk ,q 1p, k 0,1,2,n,得到随机变量的概率分布如下01knPCn0 p0 qnCnk p k qn kCnn pn q0Cn1 p1qn1称随机变量服从二项分布 ,记作B(n,p), 并记 Cnk pk qn k =b(k;n,p)3. 超几何分布一般地 ,在含有 M 件次品中的N 件产品中 ,任取 n件 ,其中恰有 X 件次品数 ,则事件 Xk 发生的概率为()CkC nk0,1,2,3, ,xkMN M ,kPCNnm其中 m min M ,n , nN, MN , n, M ,NN称分布列X01mPm n mCMCN
5、 MC0C n 0C1Cn 1CnMN MMNMNCNnCNn4. 几何分布(1)若1(2) 若1p g (k, p) ，则 E g(k, p) ，则 D2pp精品文档精品文档二 .题型分析题型 1.由统计数据求离散型随机变量的分布列题 1. (2011 北京改编 )以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；(2)每植一棵树可获10 元，求这两名同学获得钱数的数学期望 审题视点 本题解题的关键是求出Y 的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是
6、4416，这两名同学植树总棵数 Y 的取值分别为17,18,19,20,21，21414141P(Y 17)168P(Y18)164P(Y19)164P(Y 20)1642 1 P(Y 21)168则随机变量 Y 的分布列是：Y1718192021P1111184448(2)由(1)知 E(Y)171819202119，8 44 48设这名同学获得钱数为X 元，则 X10Y，则 E(X) 10E(Y) 190.题 2. 【 2012 高考真题广东理 17】（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,5050,6060,70
7、70,8080,9090,100（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80 分的学生中随机选取2 人，该 2 人中成绩在90 分以上（含 90 分）的精品文档精品文档人数记为，求得数学期望【答案】 本题是在概率与统计的交汇处命题， 考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。【解析】题型 2 由古典概型求离散型随机变量的分布列题 3.（ 2012 年韶关二模）有一个345 的长方体 , 它的六个面上均涂上颜色 . 现将这个长方体锯成60 个 111 的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1 个，设小正方体涂上颜色的面数为
8、.（）求0的概率；（）求的分布列和数学期望 .（）60 个 111 的小正方体中，没有涂上颜色的有 6个 ，P(0)61（3 分）6010（）由（ 1）可知P(0)111P(2)2210 ；P( 1)P(3)15（7 分）30 ；5 ；分布列精品文档精品文档0123p111221030515（10 分）1112247 （ 12 分）E =0 +1+2 +3 =301030515题 4. 【 2012 高考真题浙江理 19】已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2 分，取出一个黑球的 1 分现从该箱中任取 (无放回， 且每球取到的机会均等 )3 个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和( )求 X 的分布列；( )求 X 的数学期望E(X)【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。( ) X 的可能取值有：3， 4，5， 6P ( XC535 ；P( X4)C52C413)C9320 ；C934242P (XC51C4215P( X6)C4325)；C93C934242故，所求 X 的分布列为X3456201015521P542214214422142( ) 所求 X 的数学期望E(X)为：651051
