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1、函数单调性的应用系 别 专 业 班 级 姓 名 指 导 教 师 2013年5月8日）摘 要函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的范围等。所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。关键词 ：函数单调性，判别，导数，应用AbstractMonotonic function not only is one o
2、f the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed
3、and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis whats the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching,
4、or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance.Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application 目 录1、前 言12、函数单调性的基础理论12.1 函数单调性的基本概念1 2.2 函数单调性的常用定理与性质33、函数单调性的判别7 3.1 初等数学中函数单调性的判别7 3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性84、函数单调性的解题应用8 4.1 单调性在求
5、极值、最值中的应用8 4.2 单调性在不等式中的应用14 4.3 单调性在求方程解问题中的应用15 4.4 单调性在化简求值方面的应用16 4.5 单调性在比较大小方面的应用175、函数单调性在实际生活中的应用17 5.1 单调性在材料合理利用中的应用17 5.2 单调性在生产利润中的应用18 5.3 单调性在结构工程中的应用20 5.4 单调性在优化路径中的应用216、结 论22致谢23参考文献24 1、前 言单调性是近代数学的重要基础，是联系初等数学与高等数学的重要纽带。研究函数在无限变化中的变化趋势，从有限认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，都要用到单调性。它的引入为解决相关数
6、学问题提供了新的视野，为研究函数的性质、证明不等式、求解方程、比较大小等方面提供了有力的工具。本文将在已有文献的基础之上，总结单调性在解决数学问题中的相关应用，并且探讨单调性在利润最大化、材料优化、资源整合和路径选择等方面的应用。2、函数单调性的基础理论2.1 函数单调性的基本概念2.1.1 函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为：如果对属于内某个区间上的任意两个自变量,当时,都有，那么就说在这个区间上是增函数。如果对属于内某个区间上的任意两个自变量,当时,都有，那么就说在这个区间上是减函数。若函数在这一区间具有(严格的)单调性,则就说函数在某个区间是增函数或减函数，这一区间叫做函数的单调区
7、间，此时也说函数是这一区间上的单调函数。2.1.2 函数单调性的意义在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。函数的这一性质在解决函数求极值、比较大小、求解方程的根、解不等式等问题时都有很大的帮助，在现实生活中，例如在经济领域中如何实现利润最大化，在工程领域中如何计算材料的极限强度，在航空领域中计算航空器回收落地时间等等，函数单调性都有很重要的应用。2.1.3 函数单调性的理解 (1) 图形理解在区间上，的图像上升（或下降）是区间上的增函数（或减函数）。OxX1X2y增函数图像OxX1X2y减函数图像例1 证明函数上是减函数。证明：设是区间上的任意实数，且，则图像如下:x110
8、01x2f(x2)()(x2)图1.1.1(2) 正向理解（定义理解）在区间上单调递增，,且；在区间上单调递减，,且。例2 设函数在上是增函数，函数是偶函数，确定的大小关系。解：函数是偶函数，又因为在上是增函数，且即(3) 逆向理解在区间D上单调递增，,且；在区间D上单调递减，,且。例3 已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数a的取值范围。解：由已知可知，又是奇函数 。是定义在上的减函数， ，解得。(4) 导数理解设函数在区间D内可导，若，则是减函数；若，则是增函数。反之，若函数是增函数，则；若函数是减函数，则。例4 函数在是减函数，求的取值范围。解：在上递减，恒成立，则(1) 当时，满足条
9、件。(2) 当时，只须满足即可。综上所述得.2.2 函数单调性的常用定理和性质2.2.1 最值定理对于在区间上有定义的函数,如果有,使得对于,都有(或)，则称是函数在区间上的最大值(或最小值)。例1 求函数在区间上的最大值和最小值。解：由三角函数的性质可知,当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.故函数的最大值为2，最小值为0。定理1（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。如果函数在闭区间上连续，那么至少有一点，使是在上的最大值，又至少有一点，使是在上的最小值。注意，不是任何函数都有最大值和最小值。例如函数在开区间内既无最大值又无最小值。2.2.2 有界性定理根据
10、定理1可知，函数在其连续区间上一定存在最大值和最小值，使任一满足。该式表明，函数在区间上有上界和下界，因此函数在区间上有界。定理2 若函数在闭区间上连续，则在上有界。2.2.3 零点定理定理3 设函数在闭区间上连续，且与异号，那么在开区间内至少有一点，使。例2 证明方程在区间内至少有一个根。证明：设，则在闭区间上连续，并且，根据零点定理，在区间内至少有一点，使得。从而说明了方程在区间内至少有一个根。2.2.4 介值性定理定理4 设函数在闭区间上连续，且，若为介于与之间的任何实数(或)，则至少存在一点,使得。 2.2.5 极值的判定定理 若函数在点的某邻域内对一切有，则称函数在点取得极大（小）值
11、，称点为极大（小）值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。函数极大值和极小值概念是局部性的，如果是函数的极值点，那只就附近的一个局部范围来说，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有则是函数的一个极大值；如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极小值, 对应的极值点就是（，）。如果就的整个定义域来说，不一定就是最大值或最小值。定理5（费马定理）设函数在点的某领域内有定义，且在点可导。若点为的极值点，则必有。定理6（极值的第一充分条件）设在点处连续，在某领域内可导。（1） 若时，当时，则在点取得极小值；（2） 若时，当时，则在处取得极大值。 例3 判断函数在的单
12、调性。解：函数有正有负，。定理7（极值的第二充分条件）设函数在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且，。（1）当，则函数在处取得极大值；（2）当，则函数在处取得极小值。证明：在情形（1），由于，按二阶导数的定义有 根据函数极限的局部保号性，存在的某个去心邻域，在该邻域内有 ； 则在时，在时，。由极值的定义可知，函数在处取得极大值。同理，可证明（2）当，函数在处取得极小值。例4 设函数由方程所确定，且。问在处是否取得极值？若取得极值，是极大值还是极小值？解：因为，所以，即又 ，。3、函数单调性的判别3.1 初等数学中函数单调性的判别在最初对函数的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、指数函数、
13、幂函数、分段函数等。在对这些函数的学习中我们主要结合了函数的图像来判断函数的单调性。3.1.1 一次函数单调性的判别一次函数的解析式：当时，对应定义域内图像是上升的：当时，对应定义域内图像是下降的；当时，一次函数变成为常数，不讨论单调性。3.1.2 二次函数单调性的判别二次函数的解析式，其图形形式为抛物线。其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最小值，即在上为单调递减函数；其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最大值，即在上为单调递增函数。3.1.3 指数函数单调性的判别指数函数的一般解析式,其中且过点（0,1）。其中当时，函数在定义域内为单调递减函数,其中当时，函数在定义域内
14、为单调递增函数。时，的值越小函数值下降越快；时，的值越大数值增加越快。3.1.4 对数函数单调性的判别对数函数的一般解析式,其中且过点。其中当时，函数在定义域内为单调递减函数，其中当时，函数在定义域内为单调递增函数。当时,的值越小函数值下降越快；当时,的值越大函数值增加越快。3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（在点仍在邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比，在时的极限存在，这称函数在点处可导，并且称这个极限为函数在点处的导数，记为，即。 导数体现在单调性上就是导数的几何意义：函数在点的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的的倾角。也就是说若导数大于零，则函数单调增加，若导数小于零，则函数单调减小。例1 求证：当时，。证明：令，则，则故在上单调递增，从而当时， ，于是在 上单调递增，即。4、 函数单调性的解题应用
