《同济第六版《高等数学》教学案WORD版_第09章重积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第六版《高等数学》教学案WORD版_第09章重积分（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 .wd.第九章 重积分教学目的：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的直角坐标、极坐标计算方法。3. 掌握计算三重积分的直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等。教学重点：1、 二重积分的计算直角坐标、极坐标；2、 三重积分的直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、 利用极坐标计算二重积分；2、 利用球坐标计算三重积分；3、 物理应用中的引力问题。9.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1. 曲顶柱体的体
2、积 设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论若何计算曲顶柱体的体积. 首先,用一组曲线网把D分成n个小区域Ds 1,Ds 2,Dsn.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个Dsi中任取一点(xi,hi),以f (xi,hi)为高而底为Dsi的平顶柱体的体积为f (xi,hi) Dsi(i=1, 2,n).这个平顶柱体体积之和.可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶
3、柱体体积的准确值, 将分割加密,只需取极限,即.其中l是个小区域的直径中的最大值. 2.平面薄片的质量. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为r(x,y),这里r(x,y)0且在D上连续. 现在要计算该薄片的质量M. 用一组曲线网把D分成n个小区域Ds 1,Ds 2,Dsn. 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:r(xi,hi)Dsi. 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:.将分割加细,取极限, 得到平面薄片的质量.其中l是个小区域的直径中的最大值. 定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域 Ds 1,Ds 2,Ds
4、n.其中Dsi表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个Dsi上任取一点(xi,hi),作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即.f(x,y)被积函数,f(x,y)ds被积表达式,ds面积元素,x,y积分变量,D积分区域,积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域Dsi的边长为Dxi和Dyi,则Dsi=DxiDyi,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作其中
5、dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性:当f(x,y)在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的, 也就是说函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义:如果f(x,y)0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的. 二. 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数, 则. 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个
6、局部闭区域, 则在D上的二重积分等于在各局部闭区域上的二重积分的和. 例如D分为两个闭区域D1与D2,则. 性质3(s为D的面积). 性质4如果在D上,f(x,y)g(x,y),则有不等式. 特殊地有. 性质5设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s为D的面积,则有. 性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s为D的面积,则在D上至少存在一点(x,h)使得.9. 2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分 X-型区域: D:j1(x)yj2(x),axb. Y-型区域: D:y1(x)yy2(x),cyd.混合型区域:设f(x,y)0,D=(x
7、,y)| j1(x)yj2(x),axb.此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.对于x0a,b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间j1(x0),j2(x0)为底、以曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为.根据平行截面面积为的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为.即 V=.可记为.类似地,如果区域D为Y-型区域: D:y1(x)yy2(x),cyd,则有.例1. 计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.解:画出区域D. 方法一.可把D看成是X-型区域: 1x2, 1yx.于是.注: 积分还可以写成. 解法2.也可把
8、D看成是Y-型区域: 1y2,yx2 .于是.例2.计算,其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.解画出区域D,可把D看成是X-型区域:-1x1,xy1.于是.也可D看成是Y-型区域：-1y1,-1xy.于是.例3计算,其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域.解积分区域可以表示为D=D1+D2,其中;.于是.积分区域也可以表示为D:-1y2,y2xy+2.于是.讨论积分次序的选择.例4求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2.利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限局部的体
9、积V1,然后再乘以8就行了.第一卦限局部是以D=(x,y)| 0y, 0xr为底,以顶的曲顶柱体.于是.二.利用极坐标计算二重积分有些二重积分,积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示对比方便,且被积函数用极坐标变量r、q表达对比简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.按二重积分的定义.下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域,小闭区域的面积为:,其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(xi,hi),则有,.于是,即 .假设积分区域可表示为j 1(q)rj 2(q),a
10、qb,则.讨论:若何确定积分限?.例5. 计算,其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系中,闭区域D可表示为 0ra, 0q2p.于是. 注: 此处积分也常写成.利用计算广义积分:设D1=(x,y)|x2+y2R2,x0,y0,D2=(x,y)|x2+y22R2,x0,y0,S=(x,y)|0xR, 0yR.显然D1SD2.由于,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式.因为,又应用上面已得的结果有,于是上面的不等式可写成.令R+,上式两端趋于同一极限,从而.例6求球体x2+y2+z24a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的含在圆柱面内的局部立体的体积.解由对称性,
11、立体体积为第一卦限局部的四倍.,其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域.在极坐标系中D可表示为0r2a cosq,.于是 .9.3 三重积分一、三重积分的概念定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域W上的有界函数.将W任意分成n个小闭区域Dv1,Dv2,Dvn其中Dvi表示第i个小闭区域,也表示它的体积.在每个Dvi上任取一点(xi,hi,zi),作乘积f(xi,hi,zi)Dvi(i=1, 2,n)并作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域W上的三重积分,记作.即.三重积分中的有关术语:积分号,f(x,y,z)被积函数,f(x
12、,y,z)dv被积表达式,dv体积元素,x,y,z积分变量,W积分区域.在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分W, 则Dvi=DxiDyiDzi, 因此也把体积元素记为dv=dxdydz, 三重积分记作.当函数f (x,y,z)在闭区域W上连续时,极限是存在的,因此f(x,y,z)在W上的三重积分是存在的,以后也总假定f(x,y,z)在闭区域W上是连续的.三重积分的性质:与二重积分类似. 比方 ;,其中V为区域W的体积. 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算:三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域W可表为z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy
13、2(x),axb,则 ,即 .其中D: y1(x)y y2(x),axb.它是闭区域W在xOy面上的投影区域.提示: 设空间闭区域W可表为z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,计算. 基本思想:对于平面区域D: y1(x)yy2(x),axb内任意一点(x,y), 将f(x,y,z)只看作z的函数,在区间z1(x,y), z2(x,y)上对z积分, 得到一个二元函数F(x,y),然后计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分,这就完成了f(x,y,z)在空间闭区域W上的三重积分.,则.即 .其中D: y1(x)y y2(x),axb.它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 例1 计算三重积分,其中W为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解 作图,区域W可表示为:0z1-x-2y, 0x1.于是 .讨论:其它类型区域呢? 有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分.设空间闭区域W=(x,y,z)|(x,y)Dz,c1zc2,其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域W所得到的一个平面闭区域,则有.例2 计算三重积分,其中W是由椭球面所围成的空间闭区域.解 空间区域W可表为:,-czc.于是 . 练习 1. 将三重积分化为三次积分, 其中(1)W是由曲面z=1-x2-y2,z=0所围成的闭区域.(2
