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1、专题综合测试(四)(对应学生用书P139)一、选择题1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm解析对于A，由lm及m，可知l与的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A不正确B正确对于C，由l，m知，l与m的位置关系为平行或异面，故C不正确对于D，由l，m知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D不正确答案B2(2012郑州质检)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A6 B62C8 D82解析由题意得，如图所示，所以S四边形ABCD224，S四边形BCFE212，SABE211，
2、S四边形ADEF22，S4222182，故选D.答案D3.(2012唐山摸底)如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，PDAD，则PA与BD所成角的大小为()A30 B45C60 D90 解析如图，把符合题意的空间几何体补成正方体ABCDA1B1C1P，连接BC1.由正方体的性质可知PABC1，则BC1与BD所成的角DBC1就是PA与BD所成的角连接DC1，因为BC1BDDC1，所以BDC1为等边三角形，所以DBC160.答案C4. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析若为D选项，则主视图为：故不可能是D选项答案D5已知一个四棱锥的高为3，
3、其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为()A. B6C. D2解析由已知得，四棱锥底面直观图的面积为1，则四棱锥底面的实际面积为2，故四棱锥的体积为V232.答案D6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A. B.C(1) D.解析由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为，则V(4)，故选A.答案A7.某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体外接球的表面积是()A. cm2 B. 2 cm2C. 3 cm2 D. 4 cm2解析由三视
4、图可知，该多面体是截去一角的正方体，其棱长为1.直观图如图所示，其外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R cm.故该多面体外接球的表面积S4R23(cm2)答案C8(2012湖南长沙一中模考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为()A16 B8C4 D.解析设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BDC1D，BC1，由BC1D是面积为6的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为V8sin6048.答案B二、填空题9(改编题)某三棱锥的侧视图和俯视图及部分数据如图所示，则该三棱锥的体积为_解析由于侧视图和俯视图
5、“宽相等”，故侧视图的底边长是2，由此得侧视图的高为2，此即为三棱锥的高；俯视图的面积为6，由题设条件，此即为三棱锥的底面积所以所求的三棱锥的体积是624.答案410已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是_解析这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V(1222)2.答案11三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，有以下结论：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是
6、_解析由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，正确答案12(2012陕西师大附中)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该香水瓶的表面积为_cm2.解析这个香水瓶上面是一个四棱柱、中间是一个圆柱、下面是一个四棱柱，上面部分的表面积为23343130；中间部分的表面积为21；下面部分的表面积为24444264.故该香水瓶的表面积是(94)cm2.答案94三、简答题13(2012江西上饶一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD
7、DCa，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)求三棱锥PDEF的体积解(1)证明：连接AC，AC交BD于O.连接EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)PDDCa.PD平面ABCD，E为PC的中点，PCa，PEa，PBa，SPDE.因为PD平面ABCDPDBC而BCCD，BC平面PCD，BCPC，又EFPB，PFEPCB，PFa.过F点作FGPC于G，FGBC，FG平面PCD，即FG平面PDE，FG是点F到平面PDE的距离，FG.VPDEFVFPDE.14.
8、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA1平面ABC，点D是BC的中点(1)求证：ADC1D；(2)求证：A1B平面ADC1.证明(1)因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以C1C平面ABC，又AD平面ABC，所以C1CAD，又点D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以ADBC，因为BCC1CC，所以AD平面BCC1B1，又因为DC1平面BCC1B1，所以ADC1D.(2)连接A1C交AC1于点E，连接DE.因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，又因为D为BC的中点，所以EDA1B，又ED平面ADC1，A1B平面ADC1，
9、所以A1B平面ADC1.15(2012北京海淀期末)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ACBDO.(1)若ACPD，求证：AC平面PBD；(2)若平面PAC平面ABCD，求证：PBPD；(3)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BM平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以ACBD.因为ACPD，PDBDD，所以AC平面PBD.(2)证明：由(1)知ACBD.因为平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC.因为PO平面PAC，所以BDPO.因为底面ABCD是菱形，所以BODO，所以PBPD.(
10、3)不存在满足题中条件的点M.下面用反证法说明假设在棱PC上存在点M(异于点C)使得BM平面PAD.在菱形ABCD中，BCAD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.因为BM平面PBC，BC平面PBC，BCBMB，所以平面PBC平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交，矛盾故假设不成立，即不存在这样的点M.16(2012甘肃张掖市诊断)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，ACBC2，AA14.(1)当E是棱CC1的中点时，求证：CF平面AEB1；(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的大小是45？若存在，求出
11、CE的长，若不存在，请说明理由解(1)证法1：取AB1中点M，连EM，因MFBB1且MFBB1，CEBB1且CEBB1，故MFCE且MFCE，因而CFEM且CFEM因此CF平面AEB1.证法2：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,4)，B1(0,2,4)，F(1,1,0)设E(0,0，m)，平面AEB1的法向量为n(x，y，z)，依(2,2,4)，(2,0，m)且n，n.可得取z2，得n(m，m4,2)当E是棱CC1的中点时，m2.则n(2，2,2)及(1,1,0)得n0故CF平面AEB1.(2)因平面EBB1的法向量为(2,0,0)，又二面角AEB1B的大小是45，故cos45，即，解得m.故在棱CC1上存在点E，使得二面角AEB1B的大小是45，此时CE.
