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1、弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 _2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题
2、。7、 已知一点处的应力分量匚x=100 MPa,二y=50 MPa，50 MPa,则主应力G = 150MPa，OMPa,-冷=35 16o2 =&已知一点处的应力分量，二x =200 MPa,二y=MPa , “*400 MPa,则主应力G = 512 MPa,二 2=-312 MPa,:1 = -37 57 o9、 已知点处的应力分量，；x=： -2000MPa,匚y =1000 MPa, xy*400 MPa,则主应力匚尸1052MPa, 匚 2 二-2052 MPa ,:计-82 32。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应
3、力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法讲行求解。其具体步 骤分为单元分析和整体分析两部分。15、 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其一 他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变般总是包含着两部分:部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的，即所谓变量应变泄一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，
4、即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应 当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数叫在i结点叫=1 ;在其他结点Ni=Q及刀Ni=1o20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好 地反映位移和应力变化情况：二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题(请
5、在正确命题后的括号内打，在错误命题后的括号内打“X”1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。V)5、如果某一问题中, 二 Z,zy =0，只存在平面应力分量二X，二y，- xy，且它们不沿Z方向变化，仅为x, y的函数，此问题是平面应力问题。V)6、如果某一问题中,辽=“2=“今=0,只存在平面应变分量X , ； y , Xy，且它们不沿Z方向变化,9、10、14、仅为X, y的函数，此问题是平面应变问题。V)当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。V)当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力0
6、(V)V)分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,能在弹性体中存在0并考虑下列平面问题的应力分量是否(1)-Ax By - - Cx Dy “ - Ex Fy ；y二 x=A(x2 y2),匚 y=B(x2 y2),xyACxy其中，A, B, C, D, E, F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:1)在区域内的平衡微分方程IdSoex cycT(2)在区域内的相容方程y xy=0 :y : x(3 )在边界上的应力边界条件 业1耳y5 )=fxs myIxys =f ys4)对于多连体的位移单值条件。(1)界条件0(2)此组应力分量满足相容方程。
7、为了满足平衡微分方程,必须A=-F, D=-E。此外还应满足应力边为了满足相容方程,其系数必须满足上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在A+B=O;为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。2、已知应力分量二xQxy2 Gx3,二厂C2xy2,A -C2y3 -C3X2y,体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数Ci, C2, C30 解：将所给应力分量代入平衡微分方程；:x.x.纠fQy22+3Gx22 3C2y2-2C3X2=203C2xy2C3xy=022 ( 3C1-C3 x -(Q+3C2 ” =0J3C2 *2C3 Ay=0由X, y的任意性，得3C -C3
8、=0Q 3C2=03C2 2C3 =0由此解得，6,弓,C3弓3、已知应力分量匚匚y q,xy =0,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量q,二 yq,xy =0，代入平衡微分方程旳 xWtyxx+tx+X=0cy可知,已知应力分量=-q，二 y= -q,Yy - xy:y xy丄 Y=0:x=0般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程:i (二 y二 x 戸 2(1 : xy将已知应力分量X q， y-q， xy =0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程:. .2C：2C(:2yV 2蛉x1r 1f
9、；xy将已知应力分量 匚x =q, 匚 y=q,xy=0代入上式,可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在门）；x=Axy,； y=By3，xyA-Dy2 ;2 2（2） ；x=Ay ， ；y=Bx y， xy=Cxy ；（3）；x =， ；y=0， xy=Cxy ；其中，A, B, C, D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即29鋼 :x将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知：（1） 相容。（2） 2A 2By=C （ 1 分）；这组应力分量若存在,则须满足： B=0,2A=C。（3） 0=C;这组应力分量
10、若存在，则须满足：C=0,则浪=, ； y=, Xy=O （ 1分）。5、证明应力函数=by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计, b=0 ）。rh/2X11L/2“1/2 L1/2 -1y解：将应力函数二by2代入相容方程可知，所给应力函数北y2能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面 力分别为：h上边，y , 1=0, m=Tfx=( xy) h=0,fAA-) h=0;yh2y七2 2y=A下边,h& , Z, 2 ,)需= ,ypo;l 左边, x=2 , 1
11、 j ,mo，仁十x）I- -2b, f y - -( . xy) I=； x=pIy - - xy Ix=px_22右边，x= , 1=1 ,m=, fx=(；x) i=2b, fy=(xy)i=。x=x iy= xy i=xx2 2可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数二by2能解决矩形板在X方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。6、证明应力函数=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中 能解决什么问题（体力不计，a知）。解：将应力函数；：=axy代入相容方程2x :x :y=0可知，所给应力函数二axy能满足相容方程。
12、由于不计体力，对应的应力分量为“0r，ex对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件h-xycxcy，上下左右四个边上的面力分别为上边,r,冋，T, fx_ （心广，“一）yf；下边,h厂2十, hp,（i）小厂，fy十y左边,， fx+)x=0，fy( xy)xy xy2=a ；i 2 x右边,Ix，I，m=o， fx=(；x) I=0y=( xy) I*a x可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为 ；-,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。0b1R31r11 - +fa17由此可知x解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压,y2=将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式:x,yi=l(x)y f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得ydfx)df2(x)=odx4dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 和自由项都应该等于零，即fi(x)=0dx4d f(x)odx即设二x=oy 值都应该满足它），可见它的系数这两个方程要求f1 (xAA
