基本定义一般地，把形如 （a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项x为自变量，y为因变量等号右边自变量的最高次数是2顶点坐标 交点式为 （仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是 和 顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移 [2] 具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
[5] 交点式 [仅限于与x轴即y=0有交点时的与X轴交点的情况:当 时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1, 0)和(x2, 0)当 时，函数图像与x轴只有一个切点，即 [2] 当 时，抛物线与x轴没有公共交点x的取值范围是虚数 抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设 函数图像基本图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由 平移得到的 [2] 轴对称二次函数图像 [6]二次函数图像是轴对称图形对称轴为直线 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）是顶点的横坐标（即x=？）a,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧 [2] 顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0） , [2] 开口二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口a|越大，则二次函数图像的开口越小 [2] 决定位置因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值可通过对二次函数求导得到 [2] 决定交点因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点二次函数图像与y轴交于（0,C）点注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C) [2] 与x轴交点数a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与x轴无交点当a>0时，函数在x=h处取得最小值y=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当a<0时，函数在x=h处取得最大值 =k，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y