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1、11.3连续映射的性质一、紧集上的连续映射上一节关于连续映射的定义是：“定义1124设。是上的开集，为一定点，/是从。到肥” 上的映射向量值函数。如果lmi/(x) = /(x0),那么称映射了在点小连续。用S语言来说就是：假设对一任给的0,存在b0,使得当%。(毛)时，成立-即一(x)8(Xo)，)那么称/在点/连续。如果映射/在。上每一点都连续，就称/在。上连续。这时称映 射了为。上的连续映射。”现在将上述定义中的“。是开集推广到R”上任意点集。定义1131设点集KuR，xwK为一定点，/是从K到R”上的映 射向量值函数。假设任给0,存在50,使得当xeo(Xo)nK 时，成立|工)一与)
2、|S的任一无限子集都有属于S的 聚点)，只要证明K)中的任意一个无限点集必有聚点属于/(K)即 可。因为每一个无限点集都有可列的无限子集即点列，所以只要证 明像集“K)中的任意一个点列必有聚点属于K)即可。设”为像集/(K)中的任意一个点列。对于每个”，任取一个满 足/(七)=%的x*wK0= 1,2,),那么上为紧集K中的点列，所以 它必有聚点属K ,即存在勺的子列卜)满足再由/在。点的连续性得即/()是”的一个聚点，因为。wK,所以“a)c/(K)。因此/(K) 是紧集。#按照这个定理，如果x)是R中紧集K的连续函数八K fR， 那么K的像集“K)数集是H中的紧集，因此是有界闭集，进而/(
3、K) 存在最大数和最小数。于是就可得到以下紧集上多元函数的两个重要 性质：定理11.3.2有界性假设K是R中的紧集，/是K上的连续函 数，那么/在K上有界。定理1133最值性假设K是R中的紧集，/是K上的连续函 数，那么/在K上能取得最大值和最小值，即存q,2K,使得对一 切xeK成立刍)。二、映射的一致连续性定义1132设K是R中的点集，/:K f/T为映射。如果对任给 的0 ,存在50,使得对任意x,K ,卜-门0,使得对任意XWK,只要夕(工/)公即XO(aa)nK, 就有|/(x)-/(a)|o显然所有这样的领域。(aa)之集o(a4)|awK是K的一个开覆盖。 由于K是紧集，因此在d
4、/),K中必存有限个开集。(44)，。(%)，。(叩脸)覆盖了 K即对任意xeK ,必存在，使xeo3。)。记5 = ；,山1。,那么对任意x,xeK , k-x5 ,不妨设xe。(作)13工，这时x-at = xr-x x -a xr-x + x - at v学 + 多=% ,从而|/()-/)归 |*)-6)|+|/)-，)卜：+9=。因此/在K上一致连续。#三、连通集与连通集上的连续映射设%=(耳，引，引)，称点集 /=(1-)/ + 1%)。再为R”中连结点x与点y 的直线段。一般地，设/是闭区间0到川的连续映射，1工=(玉/2,，/)即定义在0,1的连续函数组产=()问0/，,5,
5、= /(，)，假设满足(演()/2()，与()=/，(由1)，1)，./R”为连续映射，现证明了的 像集即值域) = )，=是连通集，即要证明对于，(。)中的任意两点y与)，之间，都存在以y 为起点，y为终点的道路。设y= /(1), y = /(/)，x,xfeD9由于。是连通的，所以存在 连续映射使得y(O)= * /(l) = Zo于是对于连续复合映射来说，有 /(Z0,l)o/(),且/(y(0)=x)=y，/(z(i)=/(r)=ro 这说明/(八0)就是 中以y为起点，y 为终点的道路。再由的任意性即 知/(。)是连通集。#注意到，对于连续映射/:。fR,当7 = 1时，它就是元连续函 数=/(入1/2,，/)，(大/2,/”)wOuR。而我们知道,H上的连 通集必是区间，而/?上的连通紧集就是闭区间。于是有下面的推论。推论1131连续函数将连通的紧集映射成闭区间。由这个推论便得到类似于闭区间上连续函数的介值性定理：定理1136介值定理设。uR”是连通的紧集，/是。上的连续 函数。那么,可以取到它在。上的最小值与最大值M之间的一切值。 换言之，/的值域是闭区间W，M。作业P133: 1, 2.
