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1、初一数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号19课型复习课课题压轴综合题教学目标1 理解并熟练运用图形运动的特点；2 熟练的做出适当的辅助线解决综合问题.教学重点1. 图形经过旋转变换后的位置，找出等量关系，解决综合类问题；2. 灵活的运用等腰三角形的性质.教学安排版块时长1角度的不变性20mi n2旋转问题30mi n3构造全等类30mi n随堂检测20mi n4课后作业20mi n本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的 三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题， 对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高 等，视
2、具体题目而定.本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题,特别是外角定理的运用在本节中非常重要.【例1】 如图，已知/ MON =90 ，点A、B分别在射线 OM、ON上，/ OAB的内角平分线与/ OBA的外角平分线所在的直线交于点C.（1）试说明/ C与/ O的关系；若保（2）当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问/ C的大小是否发生变化, 持不变，求出/ C的大小；若发生变化，求出其变化范围.【难度】【答案】（1） 2/C= / O;（ 2）不变，为45.【解析】/ ACB的大小不变.理由： AC平分/ OAB （已知），/ BAC= / OAB （
3、角平分线的定义），/ BD平分/ ABN （已知），/ ABD= / ABN （角平分线定义），/ ABN= / MON+Z OAB （三角形的外角性质），/ ABD= Z ACB+ Z BAC （三角形的外角性质）， Z ACB= Z ABD-Z BAC= （Z MON+ Z OAB） -Z OAB= Z MON = x 90 =45总结】本题主要考察了三角形外角和定理，结合角平分线的性质.【例2】 如图，在平面直角坐标系中， ABO是直角三角形，/ AOB=90 ，斜边AB与y轴交于点 C(1) 若/ A=Z AOC，求证：/ B= / BOC;(2) 延长 AB 交 x 轴于点 E,过
4、O 作 OD 丄 AB,且/ DOB = Z EOB, Z OAE=Z OEA, 求/ A的度数；(3) 如图，OF平分Z AOM , Z BCO的平分线交 FO的延长线于点 卩，当厶AOB绕O 点旋转时(斜边 AB与y轴正半轴始终交于点 。)，在(2)的条件下，试问Z P的度 数是否发生变化 ?若不变,请求出其度数；若改变,请说明理由【难度】【答案】( 1 )略；( 2)Z A=30；( 3)不变, 25【解析】(1 ) AOB是直角三角形Z A+ Z B=90 ,Z AOC+Z BOC=9OvZ A= Z AOC,.Z B= Z BOC .(2) vZ A+Z ABO=90,Z DOB +
5、 ZABO=90 Z A= Z DOB ,即 Z DOB=Z EOB = Z OAE = Z OEAvZ DOB +Z EOB+Z OEA=90 Z A=30.(3) Z P的度数不变，Z P=25vZ AOM=90 -Z AOC,Z BCO=Z A+Z AOC又OF平分Z AOM , CP平分Z BCOZ FOM =45 - Z AOC，Z PCO=Z A+Z AOCZ P=180 - (Z PCO+Z FOM +90) =45 -Z A=25.【总结】本题主要考察了三角形内角和与外角和定理，融入结合角平分线的性质，综合性 较强.例 3】 如图，在平面直角坐标系中，点 A， B 的坐标分别为
6、（ 1， 0），（ 3， 0），现同时将点A, B分别向上平移2个单位，再向右平移 1个单位，分别得到点 A, B的对应 点 C, D，连接 AC, BD , CD .（1 ）求点 C，D 的坐标及四边形 ABDC 的面积；（2）在y轴上是否存在一点 P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点 P的坐 标,若不存在,试说明理由（3） 点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：的值不变，的值不变，其中有且只有一个是正确的，请 你找出这个结论并求其值【难度】答案】（ 1） C（0, 2）、 D（4, 2）,；（ 2） P1（0, 4）, P
7、2（0, -4）；（3 不变.【解析】（1 ）依题意知，将点 A, B分别向上平移2个单位，再向右平移 1个单位，分别 得到点A, B的对应点C, D，故C、D两点点y值为2 .所以点C, D的坐标分别为 C（0,2）, D（4,2）, = COX AB=2 X 4=8 .（2）理由如下：设点 P到AB的距离为h, =X ABX h =2h,由，得 2h = 8，解得 h = 4 , P （0, 4）或（0, -4）.（3 是正确的结论，过点P作PQ/ CD,因为AB / CD，所以PQ / AB / CD （平行公理的推论）/ DCP = Z CPQ ,/ BOP = Z OPQ（两直线平行
8、，内错角相等），/ DCP + / BOP = Z CPQ + / OPQ =Z CPO，所以=1 .解析】本题考察了在平面直角坐标系中的数形结合问题，与平行线性质解决角的问题.【例4】 如图，在平面直角坐标系中，/AB0=2 / BAO, P为x轴正半轴上一动点， BC平分/ ABP，PC 平分/ APF , 0D 平分/ POE.(1) 求/ BAO的度数；(2) 求证：/ C=15 + / OAP ;(3) P在运动中，/ C+Z D的值是否发生变化，若发生变化，说明理由，若不变，求 出其值.【难度】答案】( 1 )Z BAO=30；( 2)详见解析；(3) 不变化, 105.【解析】(
9、1 )/ ABO+Z BAO+Z AOB = 180,而Z AOB = 90,Z ABO= 2Z BAO, 2Z BAO + Z BAO + 90= 180,Z BAO = 30;(2) tZ CBP=Z ABO , Z ABO = 2Z BAO, Z BAO = 30,Z CBP= 30.由三角形外角定理，有：Z CPF = Z C + Z CBP,Z APF = Z OAP+Z AOP,而Z CPF = Z APF, Z C + Z CBP =(Z OAP + Z AOP)，显然有：Z AOP = 90,Z C+ 30=(Z OAP+ 90)=Z OAP+ 45，Z C= 15+Z OAP
10、；(3) tZ D + Z DOP +Z OPD = 180,而Z DOP =Z EOF = 90= 45, Z D + 45+Z OPD = 180,又Z OPD = Z C +Z CBP, Z D + 45+Z C+Z CBP = 180，结合证得的Z CBP = 30,得：Z D + Z C= 180 - 45Z CBP = 135 - 30= 105.即:点P在运动时，Z D + Z C的值保持不变，且Z D +Z C = 105 . 总结】本题主要考察了三角形内角和定理及外角和定理,结合角平分线的性质.旋转问题是七年级几何证明中的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的 关系是
11、解决旋转类问题的关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后的图 形位置【例5】 如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点0旋转，其交点为E、F，求证：AE+CF=AB .【难度】答案】详见解析【解析】 ABCD是正方形， OB=OC,Z BAO = Z BCO=45,由题意可得，/ EOB = Z COF=90 - / BOF , EOB FOC , CF=BE， AB=AE+BE=AE+CF.总结】本题主要考察了正方形的性质，利用三角形全等的性质证明线段之间的关系.【例6】 如图1、图2, AOB, COD均是等腰直角三角形，/ AOB = Z COD = 90(1) 在图1中，A
12、C与BD相等吗，有怎样的位置关系 ？请说明理由.(2) 若厶COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图 2的位置，请问AC与BD还相 等吗，为什么 ?【难度】答案】( 1 ) AC = BD；( 2)相等.解析】(1) AC=BD ABO CDO均为等腰直角三角形, AO = BO, CO = DO AC = BD .(2)在图 2 中，/ AOB=Z COD=90 ,/ DOB=Z COD- / COB，/ COA= / AOB- / COB,/ DOB=Z COA,在厶 DOB 和厶 COA 中，OD=OC,/ DOB =Z COA, OB =OA, DOB COA (SAS), BD =
13、AC.总结】本题主要考察了旋转运动的特点，相对简单.【例7】 如图1在梯形中，/,，点为的中点，点在底边上，且（1）请你通过观察、测量、猜想，得出的度数；（2） 若梯形中， / ，不是直角，点在底边或其延长线上，如图2、图 3，其他条件不变，你在（ 1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图 3 中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由【难度】【答案】（1）/ AEF=90 ;（ 2）都成立，详见解析. 【解析】（1）Z AEF的度数是90.（ 2）都成立以图 2 为例证明 证明：如图，延长 AE交BC的延长线于点 G,/ AD / BC,/ D = Z ECG，/ DAE =
14、 / G, E 为 DC 的中点， DE=EC, ADE GCE （AAS）, AE=GE,/ FAE=Z DAE，/ FAE=Z G , FA=FG , EF 丄 AE，/ AEF=90 .总结】本题主要考察了旋转运动的特点，运动后边相等即相等的角，相对简单.例 8】 如图，C是线段BD上一点，分别以 BC、CD为边在BD冋侧作等边 ABC和等边厶CDE ,AD交CE于F , BE交AC于G ,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（).A.【难度】B. 2对C. 3 对D. 4对答案】 C 解析】试题分析：根据等边三角形的三边相等、三个角都是60，以及全等三角形的判定方法（SSS SAS ASA、AAS）,全等三角形的性质，再结合旋转的性质即可得到结 果. EBCACD , GCE FCD , BCGACF .理由如下：BC=AC, EC=CD，/ ACB= / ECD，/ ACE 是共同角？ EBCA ACD . CD=EC , / FCD =ECG , / GEC= / CDF? GCE FCD .BC=AC , / GBC = Z
