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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。2、数值分析特点：面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理
2、论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题-数学模型（应用数学）-数值计算方法-程序设计-上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差从实际问题中抽象出数学模型 2.观测误差通过测量得到模型中参数的值 （通常根据测量工具的精度，可以知道 这类误差的上限值。）3.截断误差当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产 生的误差称为（截断误差）或（方法误差）4.舍入误差由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产 生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念1.绝对误差
3、2.绝对误差限3.相对误差4.相对误差限（1）定义：设某一量的准确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为（2）性质：(1)绝对误差e(x*) 可正可负 (2) |e(x*) |的大小标志着x*的精确度 (3) 绝对误差e(x*) 未知（3）判断：绝对误差是误差的绝对值？（错）（1）定义：若指定一个适当小的正数，使则称为近似值 x* 的绝对误差限。(有时用表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。)（2）性质：(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。(2)绝对误差限是正的，有无穷多个【则比大的任意正数均是绝对误差限】（1）定义：绝
4、对误差与准确值之比称为x*的相对误差。（2）性质：(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当 | 较小时，常取（1）定义：若指定一个适当小的正数 ，使则称为近似值 x*的相对误差限。（2）性质：当|较小时，可用下式计算5.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。注意：近似值后面的零不能随便省去！（2）例题：取x1*= 3作为的近似值，则：一个有效数字 取 x2* =3.14 作为的近似值，则：三个有效数字 取 x3* =3.1416作为的近似值
5、，则：五个有效数字 它们的误差都不超过末位数字的半个单位。（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小 有效数字的位数可刻画近似数的精确度！6、一元函数的误差估计问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则y的近似值 y*的误差如何计算？故相应的误差限计算如下7、二元函数的误差估计问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值为x1*, x2* ，则y的误差如何计算？ 故绝对误差限为8、多元函数的误差估计9、加减乘除运算的误差估计加法减法乘法除法绝对误差绝对误差限相对误差相对误差限10、算法的数值稳定性概念及运算（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍
6、入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该算法具有较好的数值稳定性11、设计算法的五个原则(一) 要避免相近两数相减(二) 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）(四) 要避免绝对值小的数作除数(五) 设法控制误差的传播许多算法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。 第二章 逼近问题1，函数逼近1、插值问题： 求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题： 求一条曲线在
7、一定意义下靠近数据点 2，插值问题1、定义：求一个简单函数(x)作为f(x)的近似表达式，以满足我们称这样的问题为插值问题； 并称(x)为 f (x)的插值函数； f (x)为被插函数， x0 , x1, x2, , xn是插值节(基)点；是插值原则.3，插值多项式1、定义：求一个次数不超过n的多项式使满足插值原则(条件)称Pn(x)为 f (x)的n次插值多项式2、定理：在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式Pn(x)存在并且唯一。注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。4,插值问题拉格朗日差值牛顿插值二次插值基函数一阶
8、差商k阶差商零阶差商1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性3.若f(x)在a, b上存在n阶导数，则为了使得|n+1(x)|尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使x尽可能位于区间Ix的中部，这里Ix是包含x以及所用基点的最小闭区间。1.计算量省，便于程序设计2.具有承袭性的插值公式，便于理论分析埃尔米特差值插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2n+2个条件求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)解法1：基函数法解法2：承袭法分段低次插值原因：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，
9、这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。定义：设在a,b上给出插值条件：求一个折线插值函数Ih(x)满足xix0x1xnf(xi)f0f1fn1Ih(x)是a,b上的连续函数2Ih(xk)=fk，k = 0,1,n3Ih(x)在每个小区间xk,xk+1上是线性函数则称Ih(x)为分段线性插值函数数学表达： 性质：1分段线性插值多项式是分段函数；2可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。3Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法：三次埃尔米特插值三次样条插值两种构造方法5，最小二乘法1、 定义：已知：一组实验
10、数据（xi，yi）(i=0,1,m)，且观测数据有误差求：自变量x与因变量y之间的函数关系y=F(x) ，不要求y=F(x)经过所有点，而只要求在给定点上误差按某种标准最小。2、 度量标准：(1)使残差的最大绝对值为最小 (2)使残差的绝对值之和为最小 (3)使残差的平方和为最小 3、最小二乘法多项式拟合已知：一组数据（xi，yi）(i = 0,1,m) 求：在次数不超过n的多项式中找一个函数，使误差平方和最小，即这里：解： 故： 解得：4、最小二乘法非多项式拟合参数线性 已知：一组数据（xi，yi）(i = 0,1,m)求：在函数类中找一个函数 ，使误差平方和最小，即这里：已知：一组数据（x
11、i，yi），且每个点对应权因子wi 0, (i=1,2,m).求：在函数类中找一个函数 ，使误差平方和最小，即这里：最小二乘法非多项式拟合参数非线性 第三章 定积分1，求解定积分问题方法：（求曲边梯形面积）旧：（1）牛顿莱布尼兹公式 【需要寻求原函数的困难】【已知点离散】新：（2）机械求积公式 【多项式机械求积公式】*【解决原函数的困难】【中矩形公式】*【解决原函数的困难】【梯形公式】*【解决原函数的困难】【插值型求积公式】*【解决离散问题】2，代数精度 （1）目的：数值求积方法是近似方法，为了保证精度，我们自然希望公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。（2）定义：
12、若某个求积公式对于次数m的多项式均能够准确成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式有m次代数精度。若某个求积公式对于1, x, xm 均能够准确成立，但对于xm+1就不准确成立，则称该求积公式有m次代数精度。（3）定理：当n为偶数时，牛顿柯特斯公式至少有n+1次代数精度。注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。3，插值求积公式（1）定理：具有n+1个求积节点的机械求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。试总结证明机械求积公式是插值型求积公式的方法。（2）求积公式的余项若求积公式的代数精度为m，则
13、余项形如其中K是不依赖于f(x)的待定参数。3，牛顿柯特斯求积公式梯形，辛普森，柯特斯1、 定义【牛顿柯特斯】梯形公式辛甫生(Simpson)公式柯特斯(Cotes)公式一阶【2次代数精度】令f(x)=x2二阶【3次代数精度】令f(x)=x4四阶【5次代数精度】4，复化求积公式1、 定义：为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积法。 复化求积法就是先用低阶的牛顿柯特斯公式求得每个子区间xk, xk+1上的积分 Ik，然后再求和，用 作为所求积分I的近似值。即复化梯形公式复化辛甫生公式复化柯特斯公式 复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式5，高斯求积公式1、 定义：机械求积公式含有2n+2个待定参数：若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代数精度，则这类公式称为高斯公式。中矩形公式是2、 高斯点定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。3、 求一点的高斯公式 设一点高斯公式为则其代数精度应为4、 求二点的高斯公式再设两点高斯公式为代数精度应为5、 高斯点的性质：定理：对于插值型求积公式(4.1)，其节点是高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不超过n的多项式P(x)均正交，即【证明看习题】6、 高斯勒让得公式 特别地，取a, b=-1, 1
