各种有趣的分形

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1、各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是 什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数 学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离 相等的点的集合，等等。但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?这是山，没 错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画 不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球， 我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观 而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让 我们先来熟悉几个典型的分形。图中的风景图片又是说明分形的另一

2、 很好的例子。这张美丽的图片是利用分 形技术生成的。在生成自然真实的景物 中，分形具有独特的优势，因为分形可 以很好地构建自然景物的模型。这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发 现，它的每个枝杈都在外形上和整体相 同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的 枝杈也和整体相同，只是变得更加小 了。Sierpinski三角形具有严格的自相似特分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来 测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布 罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它 的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规

3、则性和复 杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要 性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是 零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做 拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信 息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在 分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不 规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为 D） 不小于它的拓扑维，即DMd。维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积

4、，就要用一个 边长为I、面积为12的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。 如果用长度丨去测面积，就会得到无穷大；而如果用|3去测这块面积， 结果就是零。这就表明，用n维的标准体 In去测量一个几何对象，只当 n与拓扑维数d-致时，才能得出有限的数值。如果nd，则结果为零。分数维也是按照这个要求来定义的。由 于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念， 从不同的角度表示分形的不规则性。通常用的是“容量维”。简单地说， 分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一条光滑 的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度， 比光滑的直线有更多的折皱，

5、拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空 间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一维，又小 于二维，它的容量维为 1.2618，这看来是理所当然的。海岸线的分维数 通常在 1.15 到 1.25 之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即 使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。这真是一 个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。分维所表征 的正是大自然的规则的不规则性。一个分形的曲线意味着一种有组织的 结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。r/我们知道0维是点，一维是线，二维I I 是面，三维是空间。I一I那么，谁能告诉 我1.5 维是什么? 一条直线段

6、是一维的，由四条这样的直线段组成 的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。 直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我 们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单 位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单 位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两 倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我 们有下式:log4/log2=2 log8/log2=3这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义 :测度维的 概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919 年，数 学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数

7、扩大到分数， 从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。如果某图形是由把原图缩小为1/入的相似的 b个图形所组成，有：入D=kd即维数 D=log k /log入其中的入为线度的放大倍数，K为“体积”的放大倍数。回到海岸线长度的问题。当用直线段来近似曲线时，长度单 位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之 一的直线段来近似曲线。这时，海岸线长度增加程度近似于一个 固定的倍 数。 对于英国海岸 线 来说，其 值约为 2.7，而 log2.7/log2=1.41, 1.41就是英国海岸线的维数。1.41由于是一个 分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。还有其他一些分数 维的定义方法，但

8、得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的 基本参数之一。自然界的山,其分形维数在2.2维左右,但从2.1 维到2.5维画 出来的都有一定的山的效果.下面详细介绍分维及计算1）新的维数（全维数:整数维+分维）a由欧氏几何的整数维引出的非欧几何-分维：a）.欧氏几何的整数维欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何 图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点,直线, 平面图形（曲线）,空间图形的维数（欧氏维数）都是整数维,分别为 0,1,2,3. 对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几 何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:i

9、. 长度=1,面积=b，体积=bii. 长度（半径）=i，面积二叮（球）体积=（4/3）n3上述各种关系的量纲分别是长度单位丨的1,2,3次方，即这些方次恰 与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度 l 为基础的.所以,欧 氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为长度=1面积A=al2体积V=bb式中a和b为常数，称为几何因子,他与具体的几何图形的形状有关. 如圆a=n;球b=4n/3. 以上都是欧几里得几何规则图形的整数维而对 于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测 度长度,宽度,厚度不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃

10、罗特转向新的想法,即关于维数的新想法.b）.非欧几何的分维欧氏几何中的空间是3维的,平面是 2维的,直线是 1 维的,而点是 0 维的.那末,一个线团的维数如何呢?这与观察方法有关.远看,他是一个点, 是 0维;近些看,象球,有空间3维感;再近看,就看到了绳子,又成为 1 维的 了.引发人们注意到几何中也具有相对关系 ,以及维数的多样性.曼德勃 罗特越过了0,1,2,3,的传统整数维（同时也超越了传统观念）,进入了看起来象是不可能的分数维数 ,分维出现了.从概念上说,这是一场走钢 丝表演,是冒险.对于非数学家,外行,（年轻的）新手,生手,即开拓创新者 （或所谓的半瓶子醋）,他要求先自愿地暂停疑

11、虑（思考）,再另寻它路.而对 数学家或该行业保守的专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传 统所限制束缚住,以至难有大突破.而事实证明前者的方法和策略是极为 强劲有力的成就大功者.分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数统一扩展成M=ld则由对数定义可知，指数d可以表示为以l为底的,M的对数，即 d=logMl经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,分维中广泛使用的关系式d=lnM/lnl他可以被看成是各种维数的综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各 种分维)的由来或基准式.分维是一种测度,是用其它方法不能明确定义 的一些性质一个对象粗糙,破碎或不规则程度的手段.即对某种特征

12、性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就 是使在不同的尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)的程度保持恒 宀定.2).拓扑维和豪斯道夫维维数的定义 连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的.对数,换底, 拓扑维数是比分形维数更基本的量,以 Dt 表示,它取整数值,在不作 位相变换的基础上是不变的,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转, 可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是 0,而可转换成直线那样的集 合的拓扑维数是1所以，拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d.拓扑维 数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维数

13、的尺去度 量，则可得到一确定的数值N;若用低于它维数的尺去量它，结果为无穷 大;若用高于它维数的尺去量它，结果为零其数学表达式为:N()-Dh. 上式两边取自然对数,整理后可得Dh=lnN(r)/ln(1/r)或 Dh=limlnN(o)/ln(1/o)oO式中的 Dh 就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏 几何体,它们光滑平整，其D值是整数人们常把豪斯道夫维数是分数的物 体称为分形,把此时的 Dh 值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把 该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.维数的其它定义(1) 信息维数 Di = lim (ZPilnPi/ln

14、o)o0(2) 关联维数 Dg = lim (lnC(o)/ln(1/o)oO(3) 相似维数 Ds = lnN/ln(1/r)(4) 容量维数 Dc = lim (lnN(E)/ln(1/s)o0DcDh(5) 谱维数 D (分形子维数)是研究具有自相似分布的随机过程, 如随机行走的粒子的统计性质,可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物 凝胶(经络的通道及传质)等一类蚂蚁在迷宫中的问题.(6) 填充维数Dp由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的 填充定义的维数称之为填充维数(Packing Dimension).(7) 分配维数Dd可以看成是利用两脚间隔距离为o的两脚规测量曲线C所得的长度.即

15、定义为Dd = lim (lnMo(C)/(-lno)o0曲线的分配维数至少等于盒维数.(8) 李雅普诺夫(Lyapunov)维数Dl是作为混沌的吸引子维数，他是利用Lyapunov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的 (经络的断面切片),因此就可以测定其分形维数.分形维数的测量1. 基本方法分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个 维数的测定对象常是不同的,所以要区别对待,物适其用.实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:(1) 改变观察尺度求维数 :是用圆和球,线段和正方形,立方体等 具有特征长度的基本图形去近似分形图形.(2) 根据测度关系求维数:这个方法是利用分形具有非整数维数 的测度来定义维数的.(3) 根据相关函数求维数;C(r)x-a,a二d-D(4) 根据分布函数求维数;p(r) x p(入r) p(r) x r-D(5) 根据频谱求维数.2盒维数(计盒维数Kolmogorov熵，熵维数，度量维数，对崐数密 度等)3. 函数图的维数4. 码尺与分形维数的关系 分形维数的不确定性对实际分形 体而言，测量的分形维数值随码尺而变化, 也就是说，对同一分形体由于 选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的