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1、一.函数1 .抽象函数的周期(1) f (a x)=f(b x) T= |b-a |(2) f (ax)=-f(b x) T=2 |b-a |(3) f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a(4) f(x-a)=f(x+a)T=2a(5) f(x+a)=-f(x)T=2a2 .奇偶函数概念的推广及其周期：(1)对于函数f (x),若存在常数a,使得f (a-x ) =f (a+x), 则称f (x)为广义(I)型偶函数，且当有两个相异实数a,b同时满足时，f (x)为周期函数T=2|b-a|(2)若 f (a-x) =-f (a+x),则 f (x)是广义(I )型奇 函数，当有两个相异
2、实数 a, b同时满足时，f (x)为周期 函数 T=2|b-a |3 .抽象函数的对称性(1)若 f (x)满足 f (a+x) +f (b-x) =ca+h c则函数关于( 丁 t)成中心对称(充要) (2)若 f (x)满足 f (a+x) =f (b-x)a 4- b则函数关于直线x=T成轴对称(充要)4 .洛必达法则，设连续可导函数f（x）和g（x）产cog* 00二、三角1 .任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在 ABC中a= bcosC+ ccosB; b= ccosA + acosC; c=acosB+ bcosA2S2 .任意三角形内切圆半径r= （S为面积），a+b+
3、c外接圆半径abc a bc4S2 si nAZsinB 2sinC3 .和差化积公式（只记忆第一条）sin a +sin B =2sin+ B-cos2a + 0 a - psin a -sin B =2c0sMsin Fa + p st - JJcos +c0S B =2cosMcos -cos a -cos B =-2sinq +6 . 3-fl -sin -4 .积化和差公式cos(a+P)cos(a-P)sin a sin 0 = -:co s (ct+ B) +cos(a - B)CoSaCosB =1sin a cos B =3inCa+3) + sin(n-p)八 sfnCa+
4、3)-in(ct-P) cos a Sin B =25 .万能公式2 tan sin 6 =-1 + tan; 一21- tan -9cos 二1 + tan-2、e2tan -tan 0 =6 .三角混合不等式：若 xS (0, y),sinx vxvtanx当 x-0 时 sinx kx%tanx7 .三角形三边a.b.c成等差数列，则tan|tan|-j8 .三角形不等式(1)在锐角中，sinA + sinB + sinC cosA + cosB + cosCtanA + tanB + tanC cotA + cotB + cotC 在中，sinAsinB ocos2Acos2B三、数列
5、(所有通过递推关系得由通项后都要检验首项)1 .An+1=kAn+f(n)两边同除以kn+1,构造数列黑,通过累加法得由通项公式2 . An+i=kAn+C设一常数 x, An+i+x=k (An+x)An+1 =kA n+ (k-1) x则(k-1) x=C,求生x=,，得到等比数列 3一，公比K-1/_1+乂为k四、不等式1.常用对数不等式当x-1时，X In (x+ 1) x1 +xel+x x+l0时或n为正偶数，xS R时(1+x) n 1+nx当n=0或1,或x=0时等号成立3 .当口A。1时，V口+1-诉(4 .当口1 兄.- -4Z)0 i. War一门+ 521 abr /
6、i ( -* *-fl - b * ，*一+ v -b = ma、 JJ z 力十加 1( I II 1: II 1 IIII t( II II MFT 1 IKB1 URn I一/ 1五、解析几何1 .圆锥曲线统一极坐标方程 P =2 .圆锥曲线统一焦点弦长公式 L5 v yFri Mn 12Vn1 1n1 ti4.r = |T-r/ -x-biab0) 、2x中口十&、一 b _s, t-4 .t-D -ma . J ! /， /之二zfc、- 9 K J； 即1ecosfl2ep1e2cos23 .定比分点公式：A ( xa , yA) , B ( xb , yB) , AB的入+1等分
7、点坐标为,1+1 f 1+A)4 .若抛物线y2=2px, AB是抛物线上的动弦，koko= X ,则AB恒过定点(一警，0)A5 .抛物线焦点弦性质:抛物线焦点弦两端点 A (xi, yi)、B (X2, y2),焦点弦斜率为k,焦点弦长度为L(1)2yiy2=-pp2XiX2= 42p i 2 、Xi+X2=p+=_-yi+y2L L=x1+x2+p=5r2P+专)=y(3) k=yi+yz/八 r i &(4) + 一曰十二差 P(5) SA0jiB = ： M /zl(6) 锥曲线焦点弦性质(通性)：焦点弦长为L,(1)已知X1+X2时，椭圆：L=2a-e(X1+X2)双曲线：L=e
8、_ - _ -2a抛物线：L士十泊+p(2)已知焦点弦倾斜角。时，1 =1一青2匕口弓2(3)椭圆、抛物线、双曲线(焦点弦端点在同支)焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112十二MKI |BFJ ep双曲线(焦点弦端点在异支)焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数MF1I IBF/I ep(4)圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数112-e2AB CD 2ep(5)圆锥曲线焦点弦 AB的中垂线于对称轴(标准方程中为x轴)于D, |DF|与之比为:DF &W=2最长的焦点弦为通径(6)圆锥曲线内,b2有心圆锥曲线：通径长=2 a无明圆锥曲线：通径长=2p7 .圆锥曲线的焦半径(通性)(1)极点为焦点，极轴为
9、 x轴的圆锥曲线极坐标方程式中的P为极径，即焦半径，8为极角epp =1 。, cos0(2)已知焦半径端点的横坐标x时椭圆：p = a - ex双曲线：P = efx| - a抛物线：P = |x| + ：8 .双焦点三角形面积：F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P为椭圆上一个点，5凡& = / tan：P为双曲线上一个点，二浜8%圆锥曲线 F (x,y )三Ax2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过 M(X0, y0),且倾斜角为。的直线L交于P1.P2两点，则 的.陪言。如).产科日?短#。旬沏”10 .点P(X。，y。)对圆锥曲线 C引两条切线，连结切点所得 线为切点弦(极线)，或点P(X
10、。，y。)为切点，则极线方程 或切线方程为(1)若C为椭圆，零+簧=1 a d(2)若C为双曲线，等詈=1 a u(3)若 C为抛物线，yQy = p (x + m)11 .关于双曲线渐近线：(1)共辗双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，离心率的倒数平方和为 1： - Jel e2(2)焦点到渐近线距离为虚半轴长b(3)若两渐近线夹角为 口,则双曲线离心率 e=sec?CQS2a2 b 24 4)双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数嬴不(5)过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线交两渐近线于P.Q,则.,-12 .过有心圆锥曲线上一定点P （xo, y。）作倾斜角互补的两直线
11、与有心圆锥曲线的另两交点a.b的连线的斜率为定值配炉k 二%。过无心圆锥曲线上上一定点P （xo, y。）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值, Pk =以上情况中，/ APB的角平分线x=x。平行于y轴，A APB的内切圆圆心恒过直线 x=xo.13 .圆锥曲线光学性质:椭圆：由一焦点生发的光线经椭圆反射后必过另一焦点 双曲线：由一焦点生发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点 抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过 焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴14 .有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且 定值为b215 .椭圆上动点
12、对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率义切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率X弦中点与中心连线的 斜率=双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率X切点与中心连线的斜率 =双曲线弦斜率X弦中点与中心连线的斜率=16 .抛物线y2=2px内接Rt4OAB(以O为直角顶点)，A (xi, yi) B(X2, y2)(1) xiX2=4p2, yiy2=-4p2(2) AB恒过顶点(2p,0)(3) AB中点轨迹方程 y2=p (x-2p)(4) AB边上高的垂足轨迹方程(x-p ) 2+y2=p2(5) (Sa OaB)min= (；|。八|。8|) min=4p17.圆锥曲线上一弦 AB,
13、其中点 M (x0, y0), AB的斜率为(1)对于椭圆，侬=一1ay0(2)对于双曲线，心=争1(3)对于抛物线，L二左26.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P (x。，y。)，另有一直线L于圆锥曲线交于与 P相异两点A.B.第一组：当 kpkpE=入(入+三)时1)对于椭圆，L恒过定点Aa+b2%)2)对于双曲线，L恒过定点Aa2b2元石正。Aa1b2/ a24*z%）3)对于抛物线，L恒过定点1 .,-L第二组：当kpA+kpB= X （入+0）时1） 对于椭圆,L恒过定点. ,JLa A2） 对于双曲线，L恒过定点一3)对于抛物线,恒过定点 （与一宁，手北）七、立体几何1.空间余弦定理：相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为m.n,垂足距离为d,另一端点之间距离为 L,则平面所成二面角e,满足I2 (d2 + m2 + n2) cos9 = +2rnn2.二面角射影定理：如果平面a内的一
