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1、恒牵引力与恒功率作用下组合运动例析湖北朱木清【例1】船由静止开始沿直线航行，它在水中航行时所受的阻力与其速度成正比。若保持牵引力恒定，则经过时间0后，其速度和加速度分别为队。，最终以由的速度作匀速 运动；若保持发动机的功率恒定注，则经过时间r2后，其速度和加速度分别为小。2, 最终也以M的速度作匀速运动。下列关系正确的是（）A. t1 = t2B.a2 = 3a1C.t1 t2【过程分析】以恒定牵引力启动的物理过程是：a = H =上也尸心 a I P = Fv f m mD.a = 2a,21到t1时刻， 为 v,a1F=f=k2v 时， n a=0,匀速 2v P=F2v=4kv需要注意的
2、是，虽然牵引力恒定 匀变速运动。以恒定功率启动的物理过程是：P 一破/ F-f 7a =m m故有最终功率相等。【解析】以恒定的牵引力启动经过时间t1时满足方程：Fkv=ma1以2v的速度作匀速运动时满足方程：F-k2v=0由两式可得kv=ma1船以恒定的功率启动经过时间t2时，设牵引力为F/，则 F/-kv=ma2设恒定功率为P，则P=F/v由于额定功率一定，两次最终也以2v的速度作匀速运动P=F2v但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是变力，不是P恒定v个 a a I到t2时刻 为 v,a2F/=f=k2v 时， a/=0,匀速 2v P-/=F2v=4kv匀速运动时满足方程:由两式得：F/
3、=2F代入得2F-kv=ma2将代入止式得3kv=ma2由两式相比可得：a = 3a,21故B选项正确关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便。画出两船的v-t图象，图线的斜率等于 其加速度，注意利用速度均为v时，a广3a1；速度为2v时，均匀速运动，故得图线如图1 所示(图中甲表示以恒定牵引力启动，乙表示以恒定功率启动)。% 此图2由图可知，开始阶段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲， 速度达到v时，从图中很直观看出t1t2，故B选项正确。综上所述，本题的正确答案应是BC。【点评】解决此类问题的关键是“三分析”一一分析受力，根据牛顿运动定律确定运动 性质；以加速度为
4、桥梁，分析运动及其变化过程；分析收尾状态，明确特征及其条件。对于 变力作用下的运动过程处理(例如本题求由静止启动到最终匀速运动的位移和时间)，因涉 及微积分，中学只能用动能定理求解。【例1】一辆汽车质量为1X103kg，最大功率为2X104W。在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2,运动中受到的阻力恒定。发动机的最大牵引力为3X103N，其行程过程中牵引1力F与车速的倒数-关系如图2所示。试求v(1) 根据图线ABC判断汽车做什么运动？(2) v2的大小；(3) 整个运动过程中的最大加速度；(4) 当汽车的速度为10m/s时发动机的功率多大？【解析】（1）图线AB牵引力F不变，阻力f
5、不变，故汽车作匀加速直线运动。由P = Fv , 得F = P 1，故图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车作加速度减小的变加 v速直线运动，直至达最大速度v2,此后汽车作匀速直线运动。（2）汽车速度为v2,牵引力为七=103 N，则：L 2X104 “ = =f = 20m! s耳 IxlO3（3）C点表示汽车最终做匀速运动的状态，故所受阻力f = F = P，得:1 v2隽=等=哑开始做匀加速运动时加速度最大，此后加速度逐渐减小到零。故最大加速度为: =（3-1）；伸=2成后m 103（4）与B点对应的速度为:当汽车的速度为10m/s时处于图线BC段（恒功率阶段），此时功率最大为P
6、m =2x104W。，一1 ，【点评】汽车的牵引力F与车速倒数一关系图象上任 v一点D表示一个状态。该点与坐标原点的连线斜率（F = P -）表示发动机的功率P.如图3中由A-B, v是恒牵引力作用下的匀加速运动，动态点D对应的直线OD 斜率逐渐变大，表示汽车发动机功率逐渐变大；由B-C, 动态点D对应的直线斜率不变，表示汽车发动机功率恒定。图3注:从理论上讲，汽车是个质点系，系统的内力 做功也会改变系统动能。汽车运动中的牵引力，实际是主动轮所受地面的静摩擦力。这个静 摩擦力对汽车并不做功，但为发动机的活塞驱动（系统内力）做功提供了必不可少的条件。 在忽略机械传动摩擦损耗条件下，发动机的活塞驱
7、动力做功的功率，等于汽车所受的牵引力 与速度的乘积。汽车启动时，要保持发动机的功率恒定实际中也是无法实现的。因为由P = Fv，启动瞬间v=0,F-8，不可能实现。实际中，开启发动机时，都是先挂空运转，发动机输出功率近似为零，其后，再踩、抬离合器、挂档对汽车施加牵引力，但并不立即获得速度（加速度对时间积累才能获得速度），这个小段过程中发动机的功率是由小逐渐变大，而不是恒定的。在中学物理习题中，设定发动机功率恒定，是不追究并忽略这小段过程。【练习题】1. 汽车的额定功率为Pm，在平直路面上由静止开始以恒定的加速度作匀加速直线运动， 行驶过程中受到的阻力恒定，最终达到的最大速度为*。则汽车的速度V
8、和发动机的功率P 随时间t的变化关系图象应为（ ）02. 如图4所示，水平平行放置的光滑导轨上连有一电阻R，处于垂直导轨平面拉的匀强磁场中，金属棒MN垂直两导轨横跨其上。今从静止起用平行导轨的水平力金属棒MN，若拉力恒定，经时间t1，ab棒速度为V，加速度为气，最终速度2v；经时间t2，ab棒速度为V， 加速度为a2,最终速度也为2v；导轨的电阻不计，比较时间t1与t2,和%与a2大小，下列 关系式正确的是（）XmX 乂 XRBA. a = 2a,21B. a = 3a,21C. t1 = t2图4【答】BD。提示：金属棒所受的安培阻力F = BLi = BLB 笠 v安R + r和例1中轮船
9、受到阻力类似。3. 电动机通过一绳子吊起质量为8 kg的物体，绳的拉力不能超过120 N，电动机的功率 不能超过1200 W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m （已知此物体在被吊高接近 90 m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？（取g=10m/s2）【解析】此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一 过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚 达到最大功率.第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力与重力 等大时，物体开始匀速上升。在匀加速运动过程中加速度为a= FrnZmg = 120 ；8 -10 m/s2=5 m/s2 m8末速度 v = m =10 m/st F 120v 10上升的时间r=f =s=2 s1 a 5V 2102上升高度为虹嘉=弟=5 m在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为V = Pm = Fm = 1200 =15 m/sm F mg 8 x10外力对物体做的总功W=Pmt2-mgh2,动能变化量为11A Ek= 2 mv2m- 2 mv211由动能定理得Pmt2-mgh2=2 mVm2- 2叫之代入数据后解得t2=5.75 s,所以t=t+t2=7.75 s所需时间至少为7.75 s.
