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1、第三章线性系统状态方程的解第三章 线性系统的运动分析 3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况，设系统的状态方程的齐次部分为：x&(t)=Ax(t) &=Ax 线性定常连续系统：x 、状态转移矩阵的定义 &=Ax有两种常见解法：齐次状态方程x幂级数法；拉氏变换法。其解为x(t)=eAt其中ex(0)。AtAt称为状态转移矩阵，记为： f(t)=e。若初始条件为x(t0)，则状态转移矩阵记为：F(t-t0)=eA(t-t) 0 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为f(t,t0)，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写
2、成指数形式。 幂级数法 &=Ax的解是t的向量幂级数 设x2k x(t)=b0+b1t+b2t+LL+bkt+LL L，bk，L都是n维向量，则 式中b0，b1，b2，&(t)=b1+2b2t+3b3t2+LL+kbktk-1+LL x2k =A(b0+b1t+b2t+LL+bkt+LL) 故而有： b1=Ab01b=Ab1=221 b3=Ab2=3Mb=1AKbK0k!1213!Ab03Ab0 23-1 且有x(0)=b0。 故 x(t)=b0+b1t+b2t2+LL+bktk+LL =b0+Ab0t+ =(I+At+12!12!12!Ab0t+L+22221k!kkAb0tkk+L At+
3、L+1k!At+L)x(0) 定义：eAt=I+At+At+L+221k!At+L=kkK=01k!kkAt 则x(t)=eAtx(0)。 拉氏变换解法 &=Ax两端取拉氏变换，有 将x sx(s)-x(0)=Ax(s) (sI-A)x(s)=x(0) x(s)=(sI-A)-1x(0) 拉氏反变换，有 x(t)=L-1(sI-A)-1x(0) 则 f(t)=eAt=L-1(sI-A)-1 &= 已知系统的状态方程为x001x，初始条件为x(0)，试求状态转移矩阵0和状态方程的解。 解：求状态转移矩阵 f(t)=e此题中： 0 A=01023n， A=A=LL=A=000 0At=I+At+1
4、2!At+L+221k!Atkk+L 所以 3-2 f(t)=eAt=I+At= 状态方程的解 x(t)=e At1000+10t1=00t 11x(0)=0tx(0) 1&= 已知系统状态方程为x0-21x，初始条件为x(0)，试求状态方程的-3解。 解：x(t)=eAtx(0) s000-s-21s=-32-1 s+3 sI-A= (sI-A)-1s+3=(s+1)(s+2)-2112-1s+1s+2=-22s+s+1s+2e-e-t-ts+1s+2 -12+s+1s+2-e -2t+2e-2t11 f(t)=e 故而 At2e-t-e-2t=L(sI-A)=-t-2t-2e+2e-1-1
5、 x(t)=eAt2e-t-e-2tx(0)=-t-2t-2e+2ee-e-t-t-ex(0) -2t+2e-2t二、状态转移矩阵eAt的性质 f(t)=eAt=I+At+12!At+L+221k!At+L kk%Example 3.1.2: %MATLAB syms s t x; A=sym(0,1;-2,-3); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) x=lap*x f(0)=I f&(t)=Af(t)=f(t)A f&(0)=A f(t1t2)=f(t1)f(t2)=f(t2)f(t1) 证明：f(t1t2)=eA(t1t2)=eA(t1)eA(t
6、2)=f(t1)f(t2)=f(t2)f(t1) 3-3 f-1(t)=f(-t)，f-1(-t)=f(t) 证明：f(0)=f(t-t)=f(t)f(-t)=If-1(t)=f(-t) x(t)=f(t-t0)x(t0) 证明：x(t)=f(t)x(0) x(t0)=f(t0)x(0)x(0)=f-1(t0)x(t0)，代入上式 x(t)=f(t)f-1(t0)x(t0)=f(t-t0)x(t0) 证毕。 f(t2-t0)=f(t2-t1)f(t1-t0) 证明：x(t2)=f(t2-t0)x(t0). (1) x(t1)=f(t1-t0)x(t0)(2) x(t2)=f(t2-t1)x(t
7、1)=f(t2-t1)f(t1-t0)x(t0).(3) 比较、(3)式，有f(t2-t0)=f(t2-t1)f(t1-t0)成立。证毕。 f(t)=f(kt) k 证明：f(t)=eAtk=ekAt=eA(kt)=f(kt) k若AB=BA，则e(A+B)t=eAteAtBt=eBtBteBtAtAt 若ABBA，则e(A+B)teeee &=Ax的状态转移矩阵，引入非奇异变换x=Px后的状态转移矩阵为： 设f(t)为x f(t)=PeP &=Ax中，有 证明：将x=Px代入x-1At&=P-1APx f(t)=eP x-1APt2 eP-1APt=I+P-1APt+12!(P-1AP)t+
8、L+21k!(P-1AP)tkk+L 3-4 =P-1P+P-1APt+1222!(P-1AP)t+L+1k!(P-1AP)ktk+L =P-1(I+At+1A2t2+L+1k2!k!Atk+L)P =P-1eAtP f(t)=P-1eAtP。证毕。 两种常见的状态转移矩阵 设A=diagl1,l2,L,ln，即A为对角阵，且具有互异元素。则 el1t0 f(t)=OO 0elnt设A为mm约当阵 elttelt12lt112!teLl1(m-1)!tm-elt1m-2l lOeltteltLA=(m-2)!tetO1，则f(t)=0MMMlMmmMMMOM000Lelt 已知状态转移矩阵为
9、eAt2e-t-e-2t=e-t-e-2t-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2t 试求f-1(t)和A。 解：根据状态转移矩阵的性质4，可知 ttt2t f-1(t)=f(-t)=2e-e2e-e-2et+2e2t-et+2e2t 根据状态转移矩阵的性质2，可知 -2e-t+2e-2t2t A=f&(0)=-e-t+2e-012e-t-4e-2te-t-4e-2tt=0=-2-3 3-5 已知 l A=010 1l44l1l 试求状态转移矩阵eAt。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知 ltlt121etet3elt2telt6 f(t)=eAt=0elttelt12lt00el2te
10、ttelt000elt 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 100 0sintcost 0-costsint解：利用性质f(0)=I 100100 0sintcost=001I，所以该矩阵不是状态转移矩阵。0-costsintt=00-10 已知系统状态方程为x&=Ax， 当x(0)=1e-2t-1时，x(t)=-e-2t 当x(0)=22e-t-1时，x(t)=-e-t 试求系统矩阵A和状态转移矩阵eAt。 解：由性质可知：A=f&(0) 由已知，有 x(t)=eAtx(0) e-2t2e-t12-e-2t-e-t=eAt-1-1 3-6 eAte-2t=-2t-e1-t-e-12e-t2-1-1e-2t=-2t-e-1-t-e12e-t-2 12e-t-e-2t =-t-2t2e-t-t-2e -2t-2t-e+eA=f&(t)-2e-t+2e-2t=-2e-t+4e-2tt=0e-t-2e-2te-t-4e-2t=0t=0-1 3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解 线性定常非齐次状态方程：x&=Ax+Bu，求x(t)。 1、直接积分法 x&
