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1、拉普拉斯变换和反变换 拉普拉斯变换及反变换 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 Laf(t)=aF(s) Lf1(t)f2(t)=F1(s)F2(s) df(t)=sF(s)-f(0)dtd2f(t)L=s2F(s)-sf(0) -f 2dt MLndnf(t)nL=sF(s)-sn-kfndtk=1dk-1f(t)(k-1)f(t)=dtk-1 (k-1)(0)初始条件为0时 dnf(t)L=snF(s) ndtLf(t)dt=2 3 积分定理 一般形式 F(s)f(t)dtt=0+ss2F(s)f(t)dtt=0f(t)(dt)t=0 L
2、f(t)(dt)=2+ss2sM共n个nF(s)1nLLf(t)(dt)=n+n-k+1Lf(t)(dt)nt=0sk=1s共n个初始条件为0时 F(s)LLf(t)(dt)n=n s共n个4 延迟定理 Lf(t-T)1(t-T)=e-TsF(s) 5 衰减定理 Lf(t)e-at=F(s+a) 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 limf(t)=limsF(s) ts0limf(t)=limsF(s) t0sLf1(t-t)f2(t)dt=Lf1(t)f2(t-t)dt=F1(s)F2(s) 00tt2表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) (
3、t) 419 Z变换E(z) 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 -Ts1-e1 sdT(t)=d(t-nT) n=0z z-11(t) z z-11 s21s3t t22Tz(z-1)2 Tz(z+1)2(z-1)321sn+1tn n!(-1)nnzlim n-aTa0n!az-ezz-e-aT1s+ae-at te-at1(s+a)2Tze-aT(z-e-aT)2a s(s+a)1-ee-at-at(1-e-aT)z (z-1)(z-e-aT)b-a(s+a)(s+b)-e-btzz- -aT-bTz-ez-ezsinwTz2-2zcosw
4、T+1z(z-coswT) 2z-2zcoswT+1ws2+w2esinwt ss2+w2coswt -atw(s+a)2+w2s+a(s+a)2+w2sinwt ze-aTsinwT 2-aT-2aTz-2zecoswT+ez2-ze-aTcoswTz2-2ze-aTcoswT+e-2aTz z-ae-atcoswt at/T 1 s-(1/T)lna3 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式 B(s)bmsm+bm-1sm-1+L+b1s+b0 F(s)=A(s)ansn+an-1sn-1+L+a
5、1s+a0式中系数a0,a1,.,an-1,an，b0,b1,Lbm-1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 420 A(s)=0无重根 这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 ncicncc1c2F(s)=+L+L+=i s-s1s-s2s-sis-sni=1s-si式中，s1,s2,L,sn是特征方程A(s)0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算： 或 ci=lim(s-si)F(s) ssici=B(s)A(s)s=si式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式可求得原函
6、数 nnci-st f(t)=LF(s)=L (F-4) ceii=1s-sii=1-1-1i A(s)=0有重根 设A(s)=0有r重根s1，F(s)可写为 F(s)=B(s) r(s-s1)(s-sr+1)L(s-sn)=cicncrcr-1c1cr+1 +L+L+L+rr-1(s-s1)(s-s1)(s-s1)s-sr+1s-sis-sn式中，s1为F(s)的r重根，sr+1，, sn为F(s)的n-r个单根； 其中，cr+1，, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr-1，, c1则按下式计算： cr=lim(s-s1)rF(s) ss1cr-1=limss1d(s-s1)rF(s) dsM cr-j1d(j)=lim(j)(s-s1)rF(s) (F-5) j!ss1dsM 1d(r-1) c1=lim(r-1)(s-s1)rF(s) (r-1)!ss1ds421 原函数f(t)为 f(t)=L-1F(s) crcicncr-1c1cr+1=L-1+L+L+L+ rr-1(s-s1)s-sr+1s-sis-sn(s-s1)(s-s1)ncr-1r-2crstr-1=t+t+L+c2t+c1e+ciest (r-2)!i=r+1(r-1)!1i 422
