概率的统计学习与应用

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1、-成 绩：学院数学与统计学院学 年 论 文题 目：概率统计的学习与应用学 院：数学与统计学院专 业：数学与应用数学班 级：应数二班学 号：姓 名：庞学峰指导教师：书海2021年06月23日概率统计的学习与应用庞学峰学院数学学院，024000摘要：概率是一门古老的学科，有着悠久的历史。学习概率统计使我们能够更好的体会到数学这门学科带给我们的乐趣。概率在经济学中也有很广泛的应用，在商业竞争中概率学更是妙用无穷。每个投资都伴随着风险，但是每个投资者在投资前都会计算好成功的几率，这就是概率统计学的作用。每个人的一生都会经历无数次的选择，在每次选择前，我们都应该计算好那一个选择是离成功最近的，计算出成功

2、的概率是多少。只有这样我们才少走弯路去努力实现自己心中的理想。关键词：事件 随机变量 数学期望一 引言概率统计学就是我们迈进成功之门的钥匙。本文从古典概率到随机变量再到数学期望，古典概率在日常生活中频繁出现，它对人们的生活起到了至关重要的作用；随机变量四处可见，就像战士在沙场上随时面对各种困难一样。数学期望把概率再一次推向高潮，它的计算简单，应用起来方便。本文重点用例题来阐述各个含义，使大家真正理解概率的深意。二 正文1概率的定义设E是随机试验，是它的样本空间。对于E的每一个事件赋予一个实数，记为,称为事件A的概率。概率分为古典概率和几何概率。古典概率：在概率的开展史上，人们最先发现的概率类型

3、就是古典概型，古典概率在计算上是概率中最简单的了，它也是概率统计这门课程中入门的最根本课程之一。古典概率的公式：例1 在50件产品中，有5件是次品，今从50件产品中任意取出5件，求： 1取出的5件产品中其中恰有2件次品的概率； 2取出的5件产品中没有次品的概率。 解：(1)由题意得：事件总数n=.假设A表示事件任意取5件产品中恰有2件次品，则事件A所包含的根本领件数可以这样算：从5件次品中任取2件次品，有种取法；从45件正品中任取3件正品，共有种取法，因此m=.由古典概率定义得: P(A)=0.06697(2)用B表示没有次品，则事件B所包含的根本领件数m=,所以=例2 *校七年级全体男生中，

4、有45%的男生身高高于170cm,为了更好地了解学生的成长状况，现进展重复抽样检查，现共取20名学生，问这20名学生中恰有5名学生身高高于170cm的概率。 解：根据题意，设事件表示抽取的20名学生中恰有5人身高高于170cm, 则根据概率的计算方法得：2 概率的公理：公理1. 非负性：对任意事件,公理2. 规性：公理3. 可列可加性：诺可列个事件两两互不相容，即 当，有,则称为事件的概率。3 概率的性质：在上面的三条公理的根底上，可以推出概率的以下性质。性质1; 性质2.有限可加性设为n个两两互不相容事件，即当时，则 ,上式称为概率的有限可加性。性质3.对任意事件有 性质4. 设为两个事件，

5、且,则.推论1.设为两个事件，且,则 此性质称为概率的单调性。推论2.对任意事件有 性质5.设为任意两个事件，则.4条件概率4.1定义：设是两事件，且，则称为在事件已发生的条件下，事件发生的条件概率。4.2公理：公理1. 非负性：对任意事件：公理2. 规性：公理3. 可列可加性：诺可列个事件两两互不相容，即 当，有=.5全概率公式的应用：定理.设为试验的样本空间，为的事件，为的一个划分，且则 上式称为全概率公式。例3.盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的。第一次比赛时从其中任取3个来用，赛后把比赛时用的球都放回盒中。当第二次比赛时仍然从盒中任意取3个球，求第二次比赛时取出的球都是新球的概率。

6、解：设表示第一次取到个新球，表示第二次取到个新球=0,1,2,3。根据全概率公式定义得6概率密度：设连续型随机变量的概率密度为，则均匀分布 正态分布 ， 指数分布 7正态分布正态分布在实际生活中是一个极其重要的概率分布。例如，*地区的降水量、人们的身高等等，都服从正态分布。由此可见，正态分布在概率论中起着重要的作用。正态分布的定义：如果随机变量*的概率密度为 P(*)=,称随机变量*服从参数为的正态分布，记作*N()，其中正态分布也有它固有的性质：ip(*)关于*=对称iip(*)在*=处有最大值p()= (iii)当iv*=为曲线的两个拐点v当较大时，概率密度曲线平坦；当较小时，曲线陡峭。在

7、运用正态分布时，计算起来非常复杂。当则称*服从标准正态分布，记作*N(0，1)，标准正态分布的概率密度：，它的分布函数记作： 此时，利用标准正态分布解决问题时，其结果可以根据标准正态分布函数数值表查得，但此表只能查得*时，当*0时，可由性质得到。例4 设*N(0，1),求(1)(2)(3)解： 1 2 (3)从以上的解题过程中，我们可以看到，标准正态分布比正态分布计算起来非常简单，只需要查表就可以，但有些题中给我们的是正态分布，当遇到这些题时，我们需要把正态分布转化为标准正态分布，其过程如下：假设随机变量,其分布函数为F(*)，则随机变量下面我们用正态分布转化为标准正态分布的公式来做些例题例5

8、 设求解：例6 幼儿园的*些儿童身高,求（1） 这些儿童身高在49.5cm和50.5cm之间的概率；（2） 儿童的身高小于49.2cm的概率。解： 1*是连续型随机变量，且,则有 = (2) 8数学期望的计算：数学期望是概率里最常用的一种比较两个或多个不同的事件的平均值的方法。也是概率统计学中最简单的求均值的计算。8.1离散型的数学期望：设离散型随机变量的概率分布为 ， 如果级数绝对收敛，则称为随机变量的数学期望，记为.即8.2连续型的数学期望：设连续型随机变量的概率密度为，如果积分绝对收敛，则称为随机变量的数学期望。 即 8.3数学期望的性质：性质1.如果随机变量，则； 如果随机变量，则；

9、如果随机变量服从上的均匀分布，则； 如果随机变量服从参数为的指数分布，则; 如果随机变量,则；性质2.常数的数学期望为零；性质3.线性性质：对于任意的常数有 性质4.和的性质：设为任意的随机变量，则有.性质5.积的性质：诺随机变量与相互独立，则有9方差的计算与应用：在一般情况下，我们比较两个事件或多个事件的概率均值时用数学期望来计算。但是，有一些事件仅凭数学期望不能有一个明确的比较结果，也就是说这两个或多个事件的概率的期望值是一样的，这时我们就用方差来作进一步更准确的比较。9.1定义：设是一个随机变量，如果存在，则称之为的方差，记作。9.2方差的性质：性质1.如果随机变量，则； 如果随机变量，

10、则； 如果随机变量服从上的均匀分布，则； 如果随机变量服从参数为的指数分布，则 如果随机变量,则；性质2.常数的方差等于零；性质3.线性性质：对任意的实数有;性质4.和的性质：对于随机变量有例7.设随机变量有概率分布-2 0 1 4 0.3 0.4 0.2 0.1试求解：根据期望的定义得：根据期望的线性性质得：根据方差的定义得：三 总结随着时代的开展，科学的进步，我们生活的周围逐渐被数据所包围。本文从每个角度解释概率的含义，也是提醒人们在生活中多用概率的头脑解决问题；也使人们看到数学在人们生活中的重要性。也希望大家在未来的道路上多用概率的知识选择正确的道路，使自己的生活让数学的存在而更加顺利。参考文献【1】京一：应用数学根底概率论与数理统计高等教育；2005【2】施娟：统计与概率的思想方法 市相城中等专业学校；2021年第10期【3】长波：生活中的概率问题举例师大学；2007年 第25卷第4期【4】易伦、上江：概率在生活中的几点应用数学通讯；2002年 第10期【5】戴莹、高伟：概率在抓阄问题中的应用渤海大学学报；2006年 第27卷第3期. z.