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1、1-1光波场的复振幅描述1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程单色光场中某点P(D,Z)在时刻t的光振动可表为: u(P,t) = a(P)cos27rvt - (p(P)频率初位相光场随时间的变化关系:由频率V表征.可见I光场变化的时间周期为1/v.严格单色光:V为常数I 光场随空间的变化关系体现在:空间各点的振幅可能不同光场变化的空间周期为人(2)空间各点的初位相可能不同, 比传榕耳I捉由于班。必须满足波动方程，I可以导出a(P)、饮仅尸)必须满足的关系 11光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示|为了导出a(P)、叭 锁P)必须满足的关系，将光场用复数表 示，以利于简化运算u(P,t) = a(
2、P)cos2jrvt -讽P)=阳询刊汰訥)复数表示有利于 = 9lea(P) e加.e泥勿将时空变量分开光场随时间的变化q予勿不重要：v -1014Hz,无法探测v为常数，线性运算后亦不变对于携带信息的光波，感兴趣的是其空间变化部分.t/(P) = a(P) e 旳P)则 u(P,t)= e U(P) e 光波场的复振幅描述将L/(P)exp(/2;rW)代入波动方程V2u亥姆霍兹(Helmholtz)方程T U =0 v2 dt2可导出复振幅满足的方程为:(V2 + k2U = Ol即亥姆霍兹(Helmhol方程7271k -2I e 2. 不含时间的波动方程称为波数或传播常数， 表示单位
3、长度上产生的相位变化在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示:说明U(P) = a(P)冲)U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；WP)同时表征了空间各点的振幅IU(P)I = la(p)l和相对位相仅P) 方便运算,满足叠加原理实际物理量是实量.要恢真嬴鳶u(P,t)= 9let7(P)exp(-j2)艮光强分布:I = UU光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方li 光波场的复振幅描述2、球面波的复振幅表示球面波:等相面为球面，且所有
4、等相面有共同中心的波 点光源或会聚甲心 设观察点尸区卩z）与发散球面波中心的距离为匚0JP) = krk :传播矢量球面波：kllru（p）k=k l=2/2,为波数表 示由于波传播，在单位长度 上引起的位相变化，也表明 了光场变化的“空间频率”则尸点处的复振幅:0 jjkr | 0：单位距离总传播矢量z球面波的等位相面:kr=c为球面 处的光振幅 11光波场的复振幅描述会聚球面波会聚球面波U(P)二鱼幺”/X 11光波场的复振幅描述球面波:空间分布光波场的复振幅描述球面波:在给定平面的分布r = (x-x0)2 + (-0)2 + Z2 严r-W(X-Xo)2+(y-Vo) =z 1 +需要
5、作近轴近似图21球面波在x-y平面上的等相位线光波场的复振幅描述球面波:近轴近似只考虑兀叮平面上对源点S张角不大的范围, W(x-x0)2+(j-j0)2光波场的复振幅描述球面波:近轴近似光波场的复振幅描述球面波:近轴近似可以作泰勒展开q(1+A)1/21+A/2z +2 jIIJ一级近似二级近似22 z2 +光波场的复振幅描述球面波:近轴近似光波场的复振幅描述球面波:近轴近似对振幅中/的可作一级近似.但因为&很大，对位相中的r须作二级近似 11光波场的复振幅描述 于 球面洛:近轴近似-(x-x0)2 +(y 九尸2zU(P) = U (x, y)= cp(jkz) e)qp|jL?亠 I对给
6、定平面是常量随r*变化的二次位相因子球面波特征位相已将球面波中心取在z = 0的平面，且光波沿Z轴正方向传播.如果z 0,上式代表从S发散的球面波.如果ZV0,上式代表向S会聚的球面波.y) = exp(几z)exp j(x2 + y2)ay图2.2平面波在-7平面上的等相位线k的方向余弦均为常量等相面为平面，且 这些平面垂直于 光波传播矢量k.等相平面的法线方向E (Zrcosa, kcos/J, kcosy)等相面为平面，且这些平面垂直于光波传播矢量k 等相平面的法线方向k (Pcoso, Pcos0, Ecos力A:的方向余弦，均为常量I以k表示的等相平面方程为kr = const.|故
7、平面波复振幅表达式为：U(x, y, z) = a 汽(jk /)常量振幅=a阻XCOSCK + ycos0+ zcosy)线性位相因子光波场的复振幅描述3、平面波:在给定平面的分布在与原点相距为z的平面上考察平面波的复振幅:cosy = J1 -cos? a -cos2 0耳(伙zj匕cost -cos 0)exp#(xcoscr + ycos/2 1常数幅相因子,A1随r血桩变化的位相因子U (x, y) = AepjZ:(xcosa+ y cos /?)y/ J在4丿平面上的等位相线 xcosa +jcos= const 为平行直线族光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率U (x, y)
8、 = Aexp(jkxcosa)在与原点相距为z的平面上考察平面波的位相分布.等位相 为简单计，先看k在az平面内：cos0=O轴的一系列平面,间隔为2形成平行于y轴的直线等位相面与兀吆平面相交|等位相面与ry平面相交 形成平行直线光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率XoXB沿兀方向的等相线 间距：27T2X =kcosa coscif光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率复振幅分布:U (x, y) = Aep(jZrxcoscif)光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率定义复振幅分布在兀方向的空间频率:.1 CO
9、S6Z_X _2对于在兀吆平面内传播的平面波，在y方向上有:XY = co, f =0复振幅分布可改写为:U(x, y) = 4 e生(丿2咸兀)cos/?cosacos0 为波 矢的方向余弦I 光波场的复振幅描述 平面波的空间频率:_般情形y) = Aeipjk(xcosa + ycosfi)定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率.平面波在兀和丿方向的空间频率分别为： _ 1 _ COSQ人尢若波矢在xz平面聖yz平面中，a (fi)又常用它们的余角氏(0)表示，故：1 sin01 sin。 + 厂人一厂=引入空间频率概念后，单色平面波 在巧平面的复振幅分布可以表示为u（血 y）
10、 = Acpj27T（fxx fyy）光波场的复振幅描述平面波的空间频率信息光学中最基本的概念练习1单位振幅的单色平面波，波矢量氐与兀轴夹 角为30。,与y轴夹角为60。 画出平面上间隔为2兀的等相线族, 并求出7；、卩和人、厶和几(2)画出y =儿平面上间隔为2冗的等相线族, 并求出7 和人女口果平面波传播方向在rz平面（或yz平面）， 与z轴夹角为G则此平面波复振幅沿r方向 （或y方向）的空间频率为：sin& T光波场的复振幅描述平面波的空间频率信息光学中最基本的概念 练习2振幅为1，波长为2=500nm的单色平面波， 传播方向在口平面内，并与z轴夹角为30。 写出其复振幅表达式，并求岀z
11、 = Zi平面 上复振幅在兀方向和y方向的空间周期厶 和7；，以及相应的空间频率和厶.练习3对于传播方向与z轴夹角为30。的情况，再 解上题.要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体,更直观，是有形的 空间频率的单位:cm1, mm1,周/mm,条数/mm等空间频率的正负:表示传播方向与欢或y）轴的夹角小于或大于90。 在给定的座标系，任意单色平面波有一组对应的心憨， 它仅决定于晃菠的波长和传播方由.反之,给定一组人和对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cosa=2成，cos0 =话二维F.T.在光学上的意义：如果在可平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的期分布，则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.gO, y) = 匸 G( A)expJ2 龙(fxx + fyy)dfxdfy光波场的复振幅描述平面波的空间频率信息光学中最基本的概念三个空间频率不能相互独立：因此这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为:u（兀,y,z） = aej27T（xfx + #v） 2生（/竿 zJl 才夭2 _才人2） =u（x,y,o：旳（丿丁zJi_C _才人2）在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题作业P41:3
