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1、2006 年硕士学位研究生入学统一考试试题固体物理学A卷一、简要回答以下问题。1从对称性看，晶体、准晶和非晶在原子排列上有什么特点?对于任何晶体，其 允许的转动对称性只能是哪些?2晶体中的位错是几维缺陷?有几种基本类型?各有什么特点?3. 请写出布洛赫（Bloch）定理，并简单地说出其物理意义。 4在计算晶格比热时，爱因斯坦模型和德拜模型分别作了什么近似?二、对于一个具有面心立方结构的金属，其晶格常数为 a，1. 写出其最近邻的原子个数及最近邻原子间距。2. 画出其（100）面上的原子排列，由此得到一个二维的布拉菲（Bravais）格子， 在图中画出其基矢和原胞。3. 写出这个二维布拉菲格子的
2、倒格矢。4. 画出第一布里渊区，并求出其面积。三、一个边长为a的正方形金属薄膜，可以看作是一个二维的自由电子系统，其 总电子数为N。请求出：1. 该系统费米面的形状；2.费米波矢k与电子浓度n的关系。F四、电子在一维周期场中的势能函数为X -i- /q U右，Fll 兰盂 W Till + h其中H为大于0的常数，n为任意整数，a=4b。1. 画出0 此势能曲线，并求出势能平均值；2. 请问满足什么条件时可用近自由电子近似?3. 在近自由电子近似下，请用简并微扰法推导出禁带宽度的表达式；4. 请求出晶体的第二个禁带宽度。五、在能带论中，电子态密度的定义是什么?假设抛物线型的色散关系，请算出 在
3、一维、二维和三维下的电子态密度，并画出示意图。六、对一理想的晶体外加一个恒定的均匀磁场B（假设B不太大）。磁场B方向 平行于z轴方向。若电子具有抛物线形的能量色散关系，在半经典模型下（即把 电子运动近似当作经典粒子来处理） ，1. 试推导出电子在真实空间中是怎样运动的；2. 试推导出电子在k空间中是怎样运动的；3. 请问可以通过什么实验来确定电子的有效质量，怎么确定?2006年固体物理学A卷参考答案 一、简要回答以下问题。1. 从对称性看：在原子排列上，晶体具有长程的平移对称序（周期性） 和长程的 取向序；准晶具有长程的取向序而缺乏长程的平移对称序；非晶则两者皆无。对 于任何晶体，其允许的转动
4、对称只能是： 1， 2， 3， 4， 6 重转动对称。2. 晶体中的位错是一维缺陷。有两种基本类型：刃位错和螺位错。刃位错线垂 直于滑移方向，螺位错线平行于滑移方向。3. Bloch定理：对于周期性势场，其中亿可取该晶体布拉菲(Bravais) 格子的任何格矢，其单电子薛定谔方程的本征函数为，其中。其物理意义是：在周期势场的作用下，电子波函数不再是自由电子时的平面波，而是受到周期调幅的平 面波。(或者回答为：在相距为儿的两原胞的等同位置，电子出现的几率一样， 波函数相位变化厂。)4. 在计算晶格比热时，爱因斯坦模型假设晶体中的各原子的振动可以看作是相 互独立的，所有原子都具有相同的振动频率。德
5、拜模型假设晶体是各向同性的连 续介质，把格波视为弹性波。二、对于一个具有面心立方结构的金属，其晶格常数为a，H1. 最近邻的原子个数为12,最近邻原子间距为2。2. (100) 面的原子排列如下：基矢的表达式为：见上图。原胞见上图的阴影部分。3.根据2护-t*2托* z*2花宁 2琵得到二4. 第一布里渊区的面积:丰画图如下三、1对于自由电子，有曲22讯,在二维的k空间中等能面为一个圆。N个电子的排布是：先占据能量小的k态，逐渐占据能量高的状态，最后形成的费 米面为半径是费米波矢 k 的圆形。F2由周期性边界条件得到，（其中n和n是任意整数）xy于是一个k态在k空间中所占据的面积为：。费米波矢
6、k是费米F4譽=科, 左；二脸耳= =问着面的半径，于是有： 匸r。四、1.画出此势能曲线如下。nVU）势能平均值为为自由电子波2. 当牛勺时可用近自由电子近似。（或者回答为：能够把周期势当作微扰）。3. 在近自由电子近似下，设L为系统长度，贝U和去=函数，在布里渊区边界能级简并,零级能量为令V（r） = V + AV1X；,是平均值，（X可视为微扰。根据简并微扰论，存一级沂似下其能量8满早以下久期方程:具中匕乙予是可以求出忑的两个螂,所以土5我）第鬥个禁带宽度为4V（龙沁-xdx-=0五、在能带论中，电子态密度的定义是（单位体积） 单位能量间隔内的状态数目。考虑一个长度为L的d维样品，在周期
7、边界条件下，每个波矢占据的倒空间体积为：。在倒空问中，位于k到k+dk壳层内状态数目为：因子2来自自旋自由度。其中为等能面到等能面 +d之间的体积元。由自由电子的色散关系为紐=2；，可得到：电子态密度蚯。当d = 1时，巩刃弋片釋？）心（苦虑了k点和“点处的等能面 当日=2时，&二命当“3时.強）占（弄严曰寫六、1在半经典模型下，是电子运动速度。m*为电子的有效质量。eBdveB一 vdi因此， 即电子在真实空间中沿磁场方向做匀速运动，在垂直磁场方向做圆周运动，这两 运动同时存在，其合运动为螺旋运动。2因为岂二亠二(五 A)和v(t) =二竺-園此矗兰-e(v xB)td? mhmat所以，B = 0= 0 即 k 是常章bdidrdi-TT,dk _Tt 1dk . de(k)dtdt hdtdi即8 (k)是与时间无关的常数。因此，电子在k空间中是沿着垂直于磁场的平 面和等能面的交线运动。3可以通过回旋共振实验确定电子的有效质量，交变电场的频率就是电子的回 旋频率，即吧=f得m =mw
