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1、-第一章 函数 极限 连续BAOxyPM问题1. 上岸点的问题有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池图11游泳，当他位于点时，听到紧急集合号，于是得马上赶回位于A=2R，0处的营房去，设该士兵水中游泳的速度为，陆地上跑步的速度为，求赶回营房所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。图1-1解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据此题特点可设其中为M的周向坐标即极坐标系中的极角，于是此题就成为了求函数关系的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数的定义域为。 该士兵在水中游泳所花的时间为而在陆地上跑步所需的时间，那么要视上岸点
2、位置的两种不同的情况要分别进展讨论： 当时，有； 当时，要先跑一段圆弧，再跑一段且线段，所以。综上所述，可得问题2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。解：设为将x美元兑换成的加拿大元数，为将x加拿大元兑换成的美元数，那么而故，不互为反函数。思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？14.4美元问题3 旅
3、游问题一个旅游者，某日早上7点钟离开脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明：设两个旅馆之间的路程为L，以表示在时刻该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，那么可知是区间上的连续函数，且有，。以表示该旅游者在第二天下山时在与前一天一样时刻尚未走完的路程，那么可知是区间上的连续函数，且有，。于是原问题可转化为：证明存在，使。作辅助函数，那么在区间上连续，且有，根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在，使。就得到了所需要证明的结论。问题4 利
4、润与销量之间的函数关系收音机每台售价90元，本钱为60元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队但凡订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2元，商行可以按88元/台的价格购进300台，但最低价为75元/台。1） 把每台的实际售价p表示为订购量x的函数；2） 把利润P表示成订购量x的函数；3） 当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？解：1当时售价为90元/台。现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台，90-75 =15，150.01=1500所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为7
5、5元。当订购量在1001600时，售价为90-x-100*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为2每台利润是实际售价p与本钱之差P=p-60x 3由1先计算出p=90-1000-100*0.01=81。再有2可知P=81-60*1000=21000元问题5 Fibonacci数列与黄金分割问题有小兔一对，假设第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对解：这是意大利数学家斐波那契Fibonacci，L在1202年所著算法之书又译算盘书Liberabaci中的一个题目。他是这样解答
6、的：假设用、分别表示一对未成年和成年的兔子简称仔兔和成兔，那么根据题设有：从上图可知，六月份共有兔子13对；还可看出，从三月份开场，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可见一年后共有兔子233对。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。假设设F0=1，F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，F5=8，F6=13，那么此数列应有下面的递推关系：Fn+2 =Fn+1 + Fnn=0，1，2，这个关系可用数学归纳法来证明，其中
7、的通项是由法国数学家比Binet求出的。与Fibonacci数列严密相关的一个重要极限是1或者 2下面我们先来说明2式的含义并证明之至于1式的含义见后面的说明。记，那么-1100%就是第n+1月相对于第n月的兔子对数增长率n=0，1，2，例如：假设存在，那么-1表示许多年后兔子对数的月增长率同时也是成兔对数及仔兔对数在许多年后的月增长率因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开场算起，也是Fibonacci数列。存在的证明及求法如下：证：用数学归纳法容易证明：数列是单调增加的；数列是单调减少的。又，对一切成立。即数列、是有界的。根据单调有界数列必有极限的准那么，知数列、的极限存在，分别记为与
8、b*，即 ，分别对及的两边取极限，得 与 两式相减，得 由此得，即。假设不然，那么有 而由 ，得 这是不可能的因为因此存在，记作b，即 对的两边取极限，得解此方程，得，因为，故即 从而可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。问题6 巧分蛋糕妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕如下图。哥哥小明见了也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。你知道他用的是什么方法吗？图1-21能切成相等的两块吗？图1-22时S1 和S2PxlS2S
9、1分析：问题归结为如下一道几何证明题。平面上一条没有穿插点的封闭曲线无论什么形状，P是曲线所围图形上任一点。求证：一定存在一条过P的直线。将这图形的面积二等分。xl图1-24时S1 和S2S1S2xlS2S1图1-23旋转成角P证明：1. 过P点认作一直线l，将曲线所围图形分为两局部，其面积分别为S1和S2。假设S1=S2此情况很难办到，那么l即为所求；假设S1S2，那么不妨设S1S2 (此时l与x轴的正向的夹角记为，见图1-22，下面对此情况证明之。2. 以P点为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1和S2就连续地依赖角变化，记为、，并设。如图1-23所示。3. 函数在上连续，且在端点异号
10、：旋转1800后的情况如1-24根据零点定理，必存在一点，使，即使。过P作直线，使之与x轴正向的夹角为，该直线即为所求。注：实际上小明只证明了这样的直线一定存在，终究如何找到角还有待研究，留给大家思考！问题7第二章 导数与微分问题1 人在月球上能跳多高某人身高2米，在地面上可跳过与其身高一样的高度。假设他以同样的初速度在月球上跳，请问能跳多高？又，为了能在月球上跳过2米，他需要多大的初速度？xo解：在地面上跳高，就是克制地球引力把身体抛到高处。这里跳过了2米，是指把人体的重心提高到了2米。粗略地讲，人体的重心约在身高的一半偏上一点处，故，假设把人体当作质点来看，那么可视跳高为以初速把位于身高处
11、的一质点铅直上抛。为了求出所跳高度与时间t的函数关系，建立如下图的坐标系。由及 得 1由及 得 2在月球上跳高的情况与此类似，不同的只是这里的g由月面上的重力加速度gm所代替，假设记月球上的速度与位置函数分别为vm、xm因题设初速一样，故仍记月球上的初速为v0，那么有 3 4由4式知，为求此人在月球上能跳多高，需分别求出初速及跳到最高处所需时间。现初速与地球上的一样，故可由1、2式求之：因跳到最高处时，故，于是。又，此人在地球上跳了2米高，故有 由此得 5于是此人在地面上跳到2米高所用时间为再求在月面上以初速跳到最高处所用的时间tm：由3式及，得，即，由此可得将5、6两式代入4式，便有即，在月
12、球上能跳过的高度约为7.3078米。用与上面完全类似的推导可以得出，在月球上跳2米高所需初速为见5式，所用时间为。比拟t=0.45s与t=1.13s不难看出，同样是跳2米高，在月球上所需时间比在地面上要慢一个因子0.4，这个结论具有普遍性，可用下面的地月定理来证明。地月定理：设是地面上的运动，那么 7是在月面上的运动，这里证：对7式两端求导，那么有再对t求导，且利用得因此，满足月面运动方程。 证毕。公式7提醒了地、月两种运动之间的在联系：地面运动改变到月面运动时，时间变慢了一个因子0.4.据此原理，如果我们想看看模拟的月面运动，只需用正常速度的0.4倍放映地面运动的电影即可。注：地面运动系指一
13、质点在接近地面处，在重力影响下，且仅有重力作用的垂直运动。月面运动的概念与此类似，不再重述。问题2 油层在海面上的扩散问题从一艘破裂的油轮中渗漏出去的油，在海面上逐渐形成油层。设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变。其厚度h的减少率与h3成正比，试证明其半径r的增加率与r3成反比。证明：在等式两边同时对t求导，由于和V都是常数，所以有将题意条件代入上式子，可得再将代入上式，又可得这就是得到了所需要证明的结论。问题3人影移动的速率某人高1.8米，在水平路面上以每秒1.6米的速率走向一街灯，假设此街灯在路面上方5米，当此人与灯的水平距离为4米时，人影端点移动的速率为多少？解：这是一个相关变化率的问题，一般地，设x=x( t)及y=y( t)都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率与间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。ECBAD如果我们有几何学或物理学等方面的知识，得到x与y间的一个函数关系y=f ( t)，且f ( t)可导，那么由复合函数的求导法那么，有这说明变化率可以通过变化率得到。对于所给问题，如下图，以DE和BC分别表示人高和灯高，以DB = x和AB = y分别表示人和人影端点到灯的水平距离。因为ADEABC，所以从而 ，
