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1、目 录内容摘要1关键词11.引言22.泰勒公式22.1具有拉格朗日余项的泰勒公式22.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式22.3带有积分型余项的泰勒公式22.4带有柯西型余项的泰勒公式33.泰勒公式的应用33.1利用泰勒公式求未定式的极限33.2利用泰勒公式判断敛散性63.3 利用泰勒公式证明中值问题113.4 利用泰勒公式证明不等式和等式134. 结束语19参考文献21泰勒公式的应用内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散
2、性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 级数 拉格朗日余项 未定式 1.引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应
3、用方法。2.泰勒公式2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个使得：当=0时，上式称为麦克劳林公式。2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x有: 2.3带有积分型余项的泰勒公式如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个t使得:其中就是泰勒公式的积分型余项。2.4带有柯西型余项的泰勒公式如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有：，。 当=0时，又有=。3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求
4、未定式的极限未定式是指呈等形式的极限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。例1 求极限分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。解：将、在x=0点的麦克劳林公式展开到项得：， 。原式=。用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代 来计算极限的方法。我们知道当 时，等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化
5、。例2 求极限（）解：（）=。又,将cos2x用泰勒公式展开：Cos2x=。则=。假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣。当时，易知。两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为。为什么是？是什么因素造成这一结果？如果是()，情况会怎么样？定理1 当，时，有： (1)当n3时，是关于x的（n-2）阶无穷大； (2)当n=2时，； (3)当n=1时，是关于x的一阶无穷小； (4)当n=0时，=0。证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、(3)。先证明(3)：当n=1时，()=。 在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更便捷。因为我们知道： ，
6、即()=。在证明(1)：当n3时， ()= =() =(。命题得证。从以上定理可以看到，当时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定。同时容易推得，在以上结论中“”的条件还可以推广为 “”，这时相关特点将由函数本身在处的泰勒展开式决定。 综上所述，在求未定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可。对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，一般而言极限的计算题应该选择皮亚若型余项。3.2利用泰勒公式判断敛散性3.2.1
7、数项级数的敛散性判断当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用敛判准则。例3 讨论级数的敛散性。分析：直接根据通项去判断级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法。注意到=，若将泰勒展开为的幂的形式。开二次方后将与相呼应。则判断收敛就容易进行了。解：，取有，所以0,故该级数是正项级数。因为= 所以-0利用此要点，可以证明一些不等式。例13 求证，。证明：原不等式等价为。因为， 。 而。原式获证。要点二：应用泰勒公式可得：可得如下一般性结果：(1) 时，对有。(2) 时， 对有。 例13 设，证明不等式。分析：这题我们可以使用要点二的结论来证，首先将不等式化简，方便我们得出解题思路。其次，我们要构造函数，利用泰勒公式展开式解题。证明：等价为： ， 令，。则只需证明。而， ， 。应用泰勒公式可知，存在使 ，进而当时， =。 即（1）得证。对于（2），因为，所以，即（2）得证。
