第十届华杯赛总决赛试题及解答

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1、第十届华杯赛总决赛试题及解答第十届华杯赛总决赛试题及解答一、填空（共3题，每10分）1.1000米赛跑，己知甲到达终点时，乙离终点50米；乙到达终点时，丙离终点100米。那么甲到达终点时，丙离终点米。3 .将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数的差，称为一次操作，如对18和42可连续进行这样的操作。则有：18,42-18,24fl8,6f12,6f6,6,直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15,这两个五位数是与二、解答题（共3题，每题10分，写出简要解答过程）4 .右图中，ABCD是边长为1的正方形，A,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,

2、DA的中点，计算图中红色八边形的面积。5 .若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？6 .A是山脚，B是山顶，C是山坡上的一点，。甲、乙同时从山脚出发，到达山顶，再返回山脚，如此往返运动。甲、乙速度之比为6：5,并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍.出发一段时间后，甲第一次在山顶上看见乙在AC段向上爬;又经过一段时间后，甲第二次在山顶上看见乙在AC段向上爬。问：当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶几次？参考答案一、填空

3、1.1452.273.10005与10020二、解答题4 .红色八边形的面积是1/65 .至少有25名小朋友6.甲到过山顶9次1.【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，所以甲跑1000米时，丙跑了950X900/1000=855（米），丙距终点1000-855=145（米）.3 .【解】能被15整除的最小5位数是10005,10005+15=10020,按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020,则经过1次操作，较小的数变为15,较大的.数变为10005,再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15,直到较大的数变为30,再经一次

4、操作两个数都变成了15.4 .【解】如图，易知蓝边正方形面积为，ABD面积为，4BCD面积为，所以ABC面积为-=,可证AE：EB=1：4,黄色三角形面积为AABC的，等于，由此可得，所求八边形的面积是：1/6.至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.【又解】设0为正方形中心（对角线交点），连接0E、0F,分别与AF、BG交于M、N,设AF与EC的交点为P,连接OP,ZkMOF的面积为正方形面积的，N为0F中点，0PN面积等于aFFN面积，又OPN面积与AOPM面积相等，所以AOPN面积为、1（田而积的，为正方形面积的，八边形面积等于aOPM面积的8倍，为正方形面积的1/6.5 .【

5、解】不超过15元可购买商品的方法有:共12种方法，所以如果有25人，必然会有3人购买的商品完全相同.答：至少有25名小朋友.6 .【解】不妨设想为在一条直线上的运动，将上山的路程看作下山路程的1.5倍，并设AC=1,则CB=2,下山路程二2,将上山、下山一个全程看作5,重复在一条直线上进行.如下图：B点表示山顶，甲到达山顶所走的路程可以表示为：5Xn-2(其中n为整数，表示到达山顶的次数)，此时乙所走的路程为(5Xn-2)X,乙处于的位置为(5Xn-2)X+5=(5Xn-2)+6的余数，设此余数为k,当0nl23456789k321054321即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时(包括此时)，甲到过山顶9次.