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1、四川师范学院2011届毕业生论文四川师范学院论文浅谈求不定积分的若干方法Discuss several ways to seek indefinite integral姓 名： 王秋烈 学 号： 2009550065 学 院： 四川师范学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 杨忠（讲师）完成时间： 2010年12月5日 声 明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明的引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由本人承担
2、。 本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学科学技术学院读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学科学技术学院所有。特此声明。声明人（毕业设计（论文）作者）学号：2009550065声明人（毕业设计（论文）作者）签名： 签名日期：11年 03月05日 I浅谈求不定积分的若干方法王秋烈【摘要】：数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求不定积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求
3、不定积分，才可以简捷，准确。【关键词】：不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法Discuss several ways to seek indefinite integral【Abstract】:Mathematical analysis, the indefinite integral derivation problem is the inverse operation, but also to link differential calculus and integral calculus of a tie. Demand for the flexible use of indef
4、inite integral method, this article describes the Points of several important methods and commonly used techniques, discussion and analysis of the indefinite integral seeking several ways: direct integral method, integral method substitution, integration by law and justified Function points undeterm
5、ined coefficient method for the indefinite integral quickly seek significant, appropriate use of seeking indefinite integral method can only be simple and accurate.【Key words】:indefinite integral；integration by substitution；integration by parts；method of undetermined coefficient目录中文摘要3Abstract41 引言6
6、2 直接积分法6 2.1原函数和不定积分的定义6 2.2直接积分法的运用方法63 换元积分法7 3.1 第一换元积分法7 3.1.1 第一换元积分法的定义与分析7 3.1.2 第一换元积分法的运用7 3.2 第二换元积分法10 3.2.1 第二换元积分法的定义和分析10 3.2.2 第二换元积分法的运用10 3.3 换元积分法中值得注意的问题124 分部积分法13 4.1分部积分法的定义和分析13 4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中和的选择145 有理函数的不定积分15 5.1 有理函数的不定积分的定义和分析15 5.2 待定系数法在不定积分中的运用166 小结17参考文献201 引言数
7、学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。2 直接积分法2.1 原函数和不定积分的定义 (1) 原函数定义:设函数f与F在区间I上都有意义，若F(x)=f(x)，xI，则称F为f在
8、区间I上的一个原函数。例如：f(x)是R上的一个原函数，其中f(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f(x)的原函数。 注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。 (2) 不定积分定义： 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作，其中为积分号，f(x)是被积函数，x为积分变量。即=F(x)+C.若F是f的一个原函数，则称y=f(x)的图像为f的一条积分曲线。即f的不定积分为沿y轴任意平移的曲线族。2.2 直接积分法的运用方法 直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分
9、公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。 (1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；例1： (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式；例2： (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式； 例3： (4) 对于含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。3 换
10、元积分法所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分有困难时， ，把原来的积分转化为对新变量t的积分。那么，不定积分的换元法有（其逆运算）导数的换元法（即复合函数的求导方法）而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。3.1 第一换元积分法3.1.1 第一换元积分法的定义与分析第一类换元积分法，其新的积分变量为原积分变量的函数，即新的微分元为原积分变量函数的微分。该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以，也称为
11、“凑微分法”。简单的说：第一类换元积分法的基本步骤如下： 1那么，该积分的关键是：将被积表达式凑成两部分，一部分是复合函数，其中外函数是基本积分公式中的某一被积形式，另一部分是内函数的微分。其根本就是通过拼凑使原本不能利用公式求的积分变成可应用公式求，使用此方法时，要熟练运用，除了要牢固掌握微积分的基本公式以外，还要了解一些常用微分公式。3.1.2 第一换元积分法的运用首先，介绍一下基本的一些常微分公式，这些公式对于求解积分中运用换元积分法的题目有重要作用。 (1) 直接“凑”即将被积函数中的某个函数直接与凑成微分形式；例4：求.分析：其中2x与e凑成微分形式。解：=令u=x 则=e+C将u=
12、x回带，则e=e,所以= e+C (2) 分部“凑”即被积函数形式较为复杂，直接观察不易凑成微分形式，可先将部分因子化简后，分部来“凑”； 例5：求. 解：由于(1+x)=, (1-x)=- (此类属于多次凑微分，我们习惯以x的运算模式，现在变成不常见的积分变量，具有一定的迷惑性，要多加小心。) (3) 变形后“凑”即有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某些因子）后，可以使用凑微分法。例6：求不定积分2. 解：利用.将原被积函数进行恒等变形，即： ,就有 注意：凑微分的过程中要小心系数的调整。 这其中在于把被积表达式f(x)凑成g(x)(x)的形式，以便选取变换u=(x)化为易于积分，最终引入将新变量（u）还原为起始变量（x）。例7：求.分析：=，其中外函数是幂函数. 解：令u=2-3x，= = =技巧：形如、（mn）可用积化和差公式将其变形为、.例8：求. 解： = = =第一类换元积分法是积分中的基本方法，用处很广，其中最关键的一步是凑微分，即把被积函数中的一部分送到微分号里面，凑成基本公式的形式。拼凑时，不但要熟悉基本的微分公式，还要
