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1、巧用“等时圆”解物理问题一、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，所以运动时间为 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。二、等时圆模型（如图所示） 图a 图b三、等时圆规律 1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a） 2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b） 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间，即 （式中R为圆的半径。）结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下
2、滑，到达圆周最低点的时间相等。图1A四、应用等时圆模型解典型例题1、可直接观察出的“等时圆” 【例1】如图1所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定图1图2解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。【例2】如图2所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为
3、0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得： 再由几何关系，细杆长度 图1xymg图2设下滑时间为，则 由以上三式得， 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。ABCDM图3【例3】如图3，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静
4、止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（ ） A、a球最先到达M点 B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点 D、d球最先到达M点解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta=2 ， tb ta ；c做自由落体运动tc= ；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，图4td= ，所以C正确。【例4】圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图4所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（）A.t1t2 B.t1=t2 C.t1t2 D.无
5、法判断解析：因AB、CD处在两个“等时圆”上，所以正确答案为B。OABLL图52、运用等效、类比自建“等时圆”【例5】如图5，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。解析：可以以O为圆心，以 L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有OABLLD图5ABPHhO图6【例6】如图6所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等
6、，求O、P两点之间的距离。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。图6ABPHhOO1如图6所示，此时等时圆的半径为： 所以 【例7】两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成，如图7所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？图7图7解析：构想一辅助圆如图7所示：在AF上取一点O，使OA=OC，以O点为圆心，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由“等时圆”可知，由机械能守恒定律可知：，所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，所以有，即乙球先到达
7、斜面底端。图8【例8】如图8，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？图8解析：如图8所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶、从图4可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有是圆的弦，而其余均为圆的割线。根据“等时圆”规律，雨水沿运动的时间最短，且最短时间为而屋顶的倾角则为PAB图9COAB图9P【例9】如图9， AB是一倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送
8、带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图9所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于/ 2。图1图10三、“形似质异”问题的区分【例10】还是如图10的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析
9、：bd的长为2Rcos，bd面上物体下滑的加速度为a=gcos-gsin，tbd=2。可见t与有关。aObc图11【例11】如图11，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） A、a处小孩最先到O点 B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点 D、a、c处小孩同时到O点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则=gsint2，t2=，当=
10、450时，t最小，当=300和600时，sin2的值相等。图12练习1：如图9，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？图12解析：用作图求解。如图12，以b为半径、O为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点。由图可看出：从MN上不同的点由静止滑到A点，以DA时间为最短。（由“等时圆”可知，图中E/、D、C/各点到达A的时间相等。）所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45的时间为最少，而且此时间与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以。图13练习2：在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高O
11、A也是10cm。杆的上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图11）从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）图13解析：如图13，把AO延长到C，使OC=OA=10cm，则点O到A、B、C三点的距离相等。以O为圆心，OA为半径作圆，则B、C一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从A到B的时间与从A到C的时间相等，即s。“等时球”“等时圆”概念演变过空间一点作无数条直线光滑轨道，求某时刻圆环所在点构造的面问题，这里证明如下：“等时圆”的条件是从圆的最高点发散状光滑轨道，或者从圆周上汇聚至最低点的轨道滑行时间等时问题，对于上述球状例子，画图如下：C1表示竖直平面，C2表示与C1相交的平面。任取竖直平面内一条轨道，从顶点A沿所在竖直平面轨道AB无摩擦下滑到达其圆周上点B的时间为t1.根据等时圆理论，t1等于从点A沿AD自由落体至底部点D的时间。 同理，轨道AC所在直线与AD相交，ADAC=A, 直线AD与直线AC所在平面与C1所在球面相交，交线也为圆，且与C1的交线为AD所在直线； 无限长轨道AC与C2相交于点C，根据等时圆理论，从点A同时出发的滑行至点C的时间与从点A沿AD自由落体至底部点D的时间。 因此，从点A同时出发沿不同光滑轨道无摩擦滑行时，在某一时刻各质点所在位置处于同一球面。对于汇聚状的情况，如图。5
