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1、线性代数上课讲义第一节， 行列式N级排列概念逆序与逆序数概念，奇排列，偶排列对换概念，对换一次就改变了排列的奇偶性，交换行列式任意两行或两列，行列式符号改变。N阶行列式定义注：可以将行定成标准排列，符号看列逆序数；或将列定成标准排列，符号看行的逆序数。上下三角行列式：第二节行列式的性质1. 互换行列式行与列，行列式值不变，即转置矩阵2. 互换两行（列），其值不变，行列式值变号若某两行（列）元素相同，则D=0交换奇数次行（列），行列式变号，交换偶数次，不变号。3. 行列式某行（列）公因子可以提到行列式之外。若D中有一行（列）元素为0，则D=0若D中有两行（列）元素对应成比例，则D=04. 若行列
2、式的某行（列）元素均可以为两个数之和，则可以分为两个行列式之和。注：常犯的错误5. 将行列式的某行(列)的K倍加到另一行（列）上，其值不变。利用上述性质可以将一个一般行列式转化为上或下三角行列式：例题：注：从最后一列起，整列除以x加到前一列上消去-1，再将前一列除以x加到它的前一列上消去-1，如此下去，消去所有-1，得到对角线型行列式。例题：行和相等加列，列和相等加行。行和相等，将其他所有列加到第一列上，得到第一列每个元素相等，提出公因子。接着划为下三角行列式。行列式按行（列）展开，代数余子式行列式按行（列）展开定理注：等于0，证明是利用代数余子式的值与该元素所在的行与列元素无关，而将该行元素
3、换成与其他某行相同的元素，使得原行列式有两行元素相同，结果为0第三节：范德蒙行列式：数学归纳法推导。利用递推法计算行列式计算方法：克莱姆法则：齐次线性方程组，非齐次线性方程组的解。与ax=b，ax=0有相似的结论形式。第四节：矩阵重点：矩阵的乘法运算；伴随矩阵，逆矩阵；初等变换与初等矩阵；矩阵的概念： 行列式与矩阵区别:矩阵的行，列不一定相等，矩阵是一个数表，行列式是n*n数表对应的数值同型矩阵与矩阵相等几个特殊类型的矩阵：1. 零矩阵，同型的零矩阵才相等，不同型的零矩阵不等。2. 行矩阵，列矩阵3. 方阵，n行n列的矩阵单位阵=E数量阵对角阵上或下三角阵（形式与上下三角行列式类似）对称阵正交
4、阵矩阵的运算1. 线性运算（与数的加减乘运算律一致）加减运算（要求是同型矩阵）数乘运算（矩阵中每个元素都乘上K）2. 矩阵相乘矩阵相乘前提条件：A的列数等于B的行数矩阵相乘的规则：A的每一行元素与B的每一列元素相乘，A的第i行乘上B的第j列的结果做为新的矩阵的第i行j列的元素，新的矩阵是m行s列的矩阵。矩阵的运算律：不满足交换律AB不等于BA，矩阵相乘满足结合律A(BC)=(AB)C矩阵乘法不满足消去律AB=0不能推出A=0或B=0；AB=AC不能推出B=C矩阵与单位阵相乘（满足相乘条件时）还是矩阵本身。例题：矩阵不满足交换律注：矩阵相乘可以得到一个数例题：线性方程组的矩阵表示第五节1. 方阵
5、的乘幂与多项式：乘幂运算方阵多项式注：方阵的形式i）只有方阵才有幂（若不是方阵，则不满足矩阵相乘的规则）“=”成立条件时AB=BA,即相乘可以交换数量矩阵与方阵相乘满足交换律：注：若不是数量矩阵而是另一个方阵B与方阵A的多项式，如下：只有当二者相乘可交换才相等.例题：注：AB=常数，矩阵和常数相乘满足交换律矩阵乘幂计算方法：此法来源于上例的启发2. 对角化法3. 归纳法4. 拆和法例如：注B的三次幂一直到N次幂都是零方阵矩阵的转置方阵的行列式（只有方阵才有行列式）注：若A,B不为方阵，则AB，BA可能是方阵，但取行列式就不等。如下例：如上例伴随矩阵：N阶行列式各元素的代数余子式（不是余子式）A
6、ij构成的以下n阶方阵：注：伴随阵个元素是一个代数余子式的值，且不是按照矩阵中元素顺序排列的。伴随阵等式：证明：利用行列式按行按列展开定理，行列式值=行列式任一行或列的元素乘上各自代数余子式的值，再相加。而任一行或列元素乘上另一行或列元素对应的代数余子式之和为零（代数余子式与该行或列元素无关，可将该行或列换成与另一行或列相同的元素。）结果就得到矩阵A取行列式之值乘上n阶单位阵。注：伴随阵是由代数余子式构成，而N阶行列式的代数余子式是一个N-1阶行列式，所以矩阵数乘K后取伴随阵中的元素（代数余子式）都含有K的n-1次方，可以提到矩阵之外。例题：注：用到矩阵的等式，等号两边取行列式任然相等。第六节
7、逆矩阵：若AB=BA=E,A,B为同阶方阵，则A与B互逆。可逆条件与求逆公式与数的倒数类比注：提供了证明抽象矩阵可逆的方法。例题：将A的多项式划为（A-E）*（）=E或kE的形式.利用公式:第七节分块矩阵：元素为小矩阵1. 分块矩阵的运算：加法：AB,分法要求A,B分法相同。数乘KA，无分法要求。矩阵相乘：AB注：只要保证分块得到的两新矩阵满足矩阵相乘规则既可，前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数，而前者行数与后者列数无要求。2. 分块后的转置矩阵：3. 分块对角阵的行列式与逆矩阵例题：二阶矩阵伴随阵，主对角线元素对调，副对角线元素变号。求逆，再除以矩阵行列式。分块形式推广：主对角相乘不为零副对
8、角相乘不为零注：按行列式行互换，将其转化为上例情况。4. 两种常用的分块方式：按行分块法，将每一行作为一个新矩阵按列分块法，将每一列作为一个新矩阵。注：1.任意一个M*N矩阵即可看成M个N维行向量组成，也可以看成N个M维列向量组成。第八节初等变换1. 矩阵的三种初等行（列）变换第i行与第j行交换，或者，第i列与第j列交换，相当于把两个方程交换第i行同乘一个非零常数，或第i列同乘一个非零常数。第j行的K倍加到第i行上去，或者，第j列的k倍加到第i列上。注：i)用初等变换解方程时，只能用行变换，但列交换时也可以用。ii）初等变换均可逆。可以变回原来的矩阵。iii）方程组的初等变换保解（解不变），矩
9、阵的初等变换保秩（秩不变）2. 初等矩阵单位阵实行一次初等变换得到的矩阵初等矩阵。EEij（ij两行交换或ij两列交换）Ei（k）（第i行或i列元素乘上k）Eij（k）（第i行的k倍加到第j行上，或第i列的k倍加到第j列上）初等矩阵的作用：对矩阵实施一次初等行（或列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵。例题：将矩阵A第一和第二行交换，相当于左乘E123. 初等变换的性质：注：也即是，如果A可逆，则通过多次初等行列变换可以将A变成单位阵。也即是在A左右乘上若干初等矩阵注：求A的逆矩阵，将（A,E ）摆好后，化这个分块矩阵为（E,B）,则B即为其逆矩阵。第九节向量组的线性相关性1.向量的概念与运
10、算：运算法则：加减法，数乘2. 向量组的线性相关性注：i）向量组中的任一向量都可以该向量组线性表示ii)若一各向量可以由该向量组的部分向量线性表示，那么它可以由该向量组线性表示，只不过向量组中其他向量前的系数为零。iii）讨论一个向量是否可由一组向量线性表示的一般方法是利用方程组。线性相关与线性无关。若K1=K2=Ks=0时才有上向量等式成立，则该向量系列线性无关。注：1.含有零向量的向量组必定线性相关。（零向量前系数不为零，而其他向量钱的系数均为零，则等式任然成立，故线性相关。）3. 对于抽象的向量组线性相关性用定义讨论。4. 另一种方法为同乘一个矩阵证明线性相关性。 例题：利用同乘一个矩阵
11、证明向量组线性相关或无关。同理，可得其他系数也为零（利用单个非零向量必线性无关）。第十节3. 向量组线性相关性基本性质注意：至少有一个的条件而不是所有。注：利用此性质可以快速判断两个向量线性相关性。推论：向量组整体无关，则向量组部分无关；若向量组部分相关，则向量组整体相关。4. 向量组的极大无关组与秩就是：找一个由最少的向量构成的无关部分向量组，将其他向量用它来线性表示，进而代替它们。秩：上述极大无关组的向量个数称为整个向量组的秩。 注：一个的向量组的极大无关组往往不是唯一的。iii）一个向量组a1，a2as，每个向量都是n维列向量，如果Sn,则向量组必定线性相关。ka=0，方程的个数为n，而
12、未知数个数为s，故必定有非零解。5.向量组的等价：注：但是两个向量组的秩相等推不出极大无关组等价第十一节向量组的秩的性质：说明：向量组的秩就是向量空间的的维数：所有三维向量均可以用三维坐标系表示，而二维向量也可以由三维坐标系线性表示，但反过来不行。说明：性质4是性质3的逆否命题。证明向量组线性无关的常用方法：1. 用线性无关的定义2. 用秩的语言，若向量组的秩为向量的个数（即维数等于向量的个数），即它本身就是最大无关组，故线性无关。矩阵的秩 矩阵的K阶子式定义 ：K阶子式是一个行列式 矩阵的秩的定义(所有矩阵都有秩)矩阵秩的性质:最高阶数的子式是min（m，n）转置行列式值不变K阶子式为零，那
13、么K+1阶子式一定为零，行列式按行按列展开后代数余子式为K阶行列式，而他们均为零，故有上结论。对于N阶方阵：秩为零，那么就有一阶子式全为零，而一阶子式就是矩阵中的每个元素，因此矩阵为零矩阵，从而矩阵行列式必为零矩阵的性质2：1.初等变换不改变矩阵的秩2.矩阵A的秩=按行分块后的列向量组的秩=按列分块后的行向量组的秩=A经过初等变换为行阶梯型中非零行的个数（求矩阵的秩常用方法，按定义求麻烦）3.N阶矩阵A的秩为N，说明有一个N阶子式不为零，而N阶子式就是矩阵A的行列式，因此矩阵A的行列式不为零，也就是A矩阵可逆，也就是A按行分块后的列向量组线性无关，按列分块后的行向量组线性无关。“=”处是做初等变换把B消去，秩不变。例题：无论给的向量组为行向量还是列向量，都按列排，做行变换。5. 向量空间（数一）概念内积正交概念：两个向量内积为零。（空间解析几何中两个向量垂直。）向量模：斯密特正交化方法：（只需记到两个向量正交化方法）规范正交基（数一）注：单位化后使模为1正交矩阵,矩阵A乘上(左乘或右乘)它的转置矩阵=E方程组齐次和非齐次方程组的解法。方程组的三种形式：1.2.矩阵形式：3.
