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1、熵值法1. 算法简介嫡值法是一种客观赋权法，其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确定指标权 重。设有m个待评方案，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵X =（七）财，对于某项指标七，指标值X,的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用越大；如果某项指标的指 标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。在信息论中，嫡是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，嫡也就越小;信息量越小，不确定性就越大，嫡也越大.根据嫡的特性，我们可以通过计算嫡值来判断一 个方案的随机性及无序程度，也可以用嫡值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大！因此，可根据各项指标的变
2、异程度，利用信息嫡这个工具，计算出各个指标的权重为多指标综合评价提供依据!2. 算法实现过程2.1数据矩阵Xn1nm nxm其中七为第i个方案第j个指标的数值2.2数据的非负数化处理由于嫡值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，了避免求嫡值时对数的无意义，需要进行数据平移:对于越大越好的指标:X - min(X,X ,A , XjX =ijj2/ni-+1ijmax(X.,X2.,A ,X )-min(X1.,X2.,A ,X ),i = 1,2,A , n; j = 1,2,A对于越
3、小越好的指标:,i = 1,2,A , n; j = 1,2,A,mmax(X , X ,A , X ) - Xij max(X.,X2.,A ,X .)-min(X,X ,A ,X )为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为2.3计算第j项指标下第i个方案占该指标的比重(j = 1,2, A m)XU Xj i=12.4计算第j项指标的熵值e =-k *乎P log(P )，其中k 0,ln为自然对数，e 0。式中常数化与样本数m有关， jijijji =1一般令k = 1jn m,贝I0 e 12.5计算第j项指标的差异系数。对于第j项指标，指标值xj的差异越大，对方案评价的作用越大，嫡值就
4、越小g . = 1 - e ，贝上g越大指标越重要2.6求权数W =-j , j = 1,2A mjj=12.7计算各方案的综合得分S =Z W *P (i = 1,2,A n)j=13. 熵值法的优缺点嫡值法是根据各项指标指标值的变异程度来确定指标权数的，这是一种客观赋权法，避 免了人为因素带来的偏差，但由于忽略了指标本身重要程度，有时确定的指标权数会与预期 的结果相差甚远，同时嫡值法不能减少评价指标的维数！理解熵值法学习熵值法，熵值法是一种理论的数学方法，从计算机科学角度上看，属于 种算法。要运用熵值法当然要理解它，搞懂它。熵值法原理：熵的概念源于热力学，是对系统状态不确定性的一种度量。在
5、 信息论中，信息是系统有序程度的一种度量。而熵是系统无序程度的一种度量， 两者绝对值相等，但符号相反。根据此性质，可以利用评价中各方案的固有信 息，通过熵值法得到各个指标的信息熵，信息熵越小，信息的无序度越低，其 信息的效用值越大，指标的权重越大。具体的方法步骤见附图课件。炳是不确定性的度量，如果用Pj表示的j个信息不 确定度（也即出现的概率）则整个信息（设有n个） 的不确定度量也可用下式表示；尸】这就是炳口其中K为正常数，当各个倍息发生的概 率相等时，叩Pj=l/n, S取值最大，此计屈晨大山 W以用切来表示所有方案对属性气的贡献总量：片J孕 In（马）I其中，常数K=1加（时，以幕就能保证
6、0=电01,即Eg 大为K由式中可以看出，当某个届性F各方案的贡献度BJ-致 时，磅于1*特别是当全相等时，也就可以不考谚该 目标祚属性在决策中的作用，也即此时届性的权重为 零u这样，可看出J房性值山所有方案差异大小来决定权系数的 大小#为此再定义可为第源性下各方案贡献度4致性 程度a d广L氐则务属性权重血判E /当劣=。时，第j属性可以前除，其权重等于s如果决策者事先己有-些经验的主观估计权重勺 则可 借助1 :述的wj来对为进行修正S 5硼法最大的特点是直接利用决策矩阵所约；! W若恩 计算权重，而没有引入决策者的主观判断，END利用Excel进行熵值法计算求解1.给出算例，题干是购买教
7、车的一个决策矩阵，给出了四个方案供我们进行选择，每个方案中均有相同的六个属性，我们需要利用熵值法求出各属性的权2.一：求第j个属性下第i个方案Ai的贡献度，公式为附图一，在excel本田汕耗功率1.4费用.安全性维护性操作性奥迪 桑塔纳 剧克!2.530 抵 1875g5 重，级在方案中的贡献度。阵如下则用已=-表示第/个属性下第f个方案4的贲献度心中，先求出各列的和，然后用每行的数值比上列和，形成新的矩阵，如附图2所示。可利用燔信息的概念确定权重了假设妾属性决策矩购买轿车决策妃舞1功率费用安全性维护性操作性3.本田63573奥迪230759E桑塔纳8 1.811S75别克122.S187S5
8、1|340. 1470590. 264 7060. Z35Z940. 18LC1S0.窗9Q 2337 S665CL 02307690, 4G153S4&0. 1692307722CL 1 363640, 3181S20- 227Z73220. 227273。 2272730. 3113?260. ?S92310. 5461S豆C. 19Z300L0. 35241 0. 324Ss75 0. 27592303 Q. 319182 瓦 Z一， 1 手己口日2 .3.求出所有方案对属性Xj的贡献总量，用附图一所示的算法。在excel操作中，将刚才生成的矩阵每个元素变成每个元素与该ln（元素）的积，
9、如附 图2所示。口可以用与来表示所有方案对属性耳的页献总量与辛m（与）其中，、常数K=l/ln（m）r这麻，就能保证0二与=1,即耳最由式中可以看出，当某个属性下各方案的熨献度趋于一致 时，与趋于1;特别是当全相等时，也就可以不考虑该 目标南属性在决策中的作用，也即此时属性豹枳重为 军原矩阵0, 147059E- 181S180. 09 2.3 07 & 90. 13-6364：0. 2272730. 2692.310.2647060. 259740. 4615384：G0. 319182J0. 2272730. 3461540.235240. ?尚660.169230770.仙g0. 310
10、100. 1923000-52941Q 324675U 276923080. 318182Q.,227273:0. 192308r、1!l-0.2819-0.30995-0. 219934=9-0.2717-0, 33673：-0, 3532B-O.：；35183-0；35Q15-0.5685&9-O.：3&4=3.6-0. 33673-0.36722-0,34045-0.33976-0,.3:006371-0. 3367.-0. 3643L-0.317Q5-Q. 36757-Q. 36524-Q. .555735-Q.3&4：36-Q： 33673-0. 3170514.求出常数k,k为1/
11、ln（方案数），本例中有4个方案，4中车的类型，所以求得k为 0.721348，再求k与新矩阵每一列和的乘积，这样获得的6个积为所有方案 对属性xj的贡献度。至此所有的Ej就求出来了。-0.2819-0. 30995-0. 2199349F, 2717-0.海T3-0. 3532 8-0. 35183-0. 35015-0. 3568559-0.3G43&-O 33即3T, 36722-0. 34045-0. 33376-0, 3006371-0,33673-0.36436-0, 3LT05-CL 367373筒 24-Cl 3555735-03G43&-0. 33T3-a 31705-1.
12、34.175 -1. 1651 -1, 2330024 -1.337L4 -J.37455 -1. 354615. dj为第j属性下各方案贡献度的一致性程度。dj = 1-Ej，利用上面求得的Ej，可以得到dj9 Ij=0. 967S71 0+ 334=714 0. 38942321 0. 964545 0. 991525 0. 9771410j=0.032129 0, 015236110576曹 0. 035455 0T 00S475 0. 02235S6.各属性权重为对应的dj与所有dj和的商。dj的和为0.22478，求得各属性的权重为 0.14 0.07 0.49 0.16 0.04
13、0.109 j=0 10.96?871 0. 5S47L4 0. m2：32L 0.564545 0. 91325 d 9TT141 0.03212? 0, 01520& 0. 1105773 0. 03435 fl, 0081T5 0, 022359 O.ZEiTS匚-0京-点足空LL克_以置.JkLll7. 所以在购买汽车时，据所提供信息，利用熵值法计算得出的权重为油耗占 14%，功率占7%，费用占49%，安全性占16%，维护性占4%，操作性占 10%。故我们在进行购买决策时，更多是考虑车型的价格和安全性等重要因 素。这是从权重角度考虑的。8. 就本例而言，每个车型每个指标的得分与其权重的乘积之和为其综合评价 值，这样求得本田5.118分，奥迪18.32分，桑塔纳8.216分，别克12.495 分所以综合评价排序为奥迪、别克、桑塔纳、本田。
