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1、离散数学 _傅彦 _ 环与域(可编辑)17.1 环 环您的位置: 第 17章第 1 节第 1 点? 全屏第 17 章? 环? 与? 域群和半群是具有一个二元运算的代数结构。本章将研究具有两个二元运算的代数结构 , 大家所熟悉的实数、复数系统具有两个基本的二元运算: 普通加法“+”和普通乘法“X”。对于实数R,如果把加法和乘法各自独立来看，则R,+是群，而R, X是独异点，但是在实数R中加法和乘法是发生关联的，比如，乘法关于加法是可分配的。所以 , 群的理论无法描述像实数系统这样丰富的结构。因此, 我们必须研究具有两个发生联系的二元运算的代数结构, 环和域就是这样的代数系统。在计算机科学中 ,
2、环和域的概念在编码理论和自动机理论中有着重要的意义。17.1? 环定义 17.1? 设 R,+,* 是代数系统, “+”和“*”是二元运算, 它们具有下述三个性质。(1)R,+ 是可交换群 ;(2)R,* 是半群 ;(3) 乘法“ * ”对加法“+”可分配, 即对任意 a,b,c?R,a*b+c a*b+a*c, b+c*ab*a+ c*a 。则我们称R,+,*是一个环(Ring)。称R,+为加法群，将R,+中元素a的逆元a?1写成 ?a, 单位元记为 0, 称为零元。定义17.2?设R,+,*为一个环,对a,b?R且a,b是非零元，当a*b 0时，则称 a,b 为零因子 , 存在零因子的环称
3、为含零因子环, 否则称为无零因子环。如果半群R,*是可交换的,则称R,+,*为可交换环,如果R,+,*是无零因子,且R,*是可交换的含幺半群, 则称 R,+,* 为整环 , 记 R,* 的幺元为 1。例17.1?证明乙+, X是整环，其中运算“ +”与“X”分别是整数集合 Z上的普通加法和乘法。证明？显然Z,+是一个交换群,Z, X是一个含幺半群，其中幺元为1,且“X”对“+”满足分配律,所以Z,+, X是一个环,又对任意的a,b?R,如果ax b 0,显然有a0或者b 0,所以Z,+, x是一个无零因子环。另外，运算“x”满足交换律。所以Z,+, x是整环。我们已经知道n,+n是交换群，现在
4、集合n上定义一个运算x n:对任意 a,b?n,a x nb a x b mod n其中，“x”是普通乘法。则n,+n,?是否是环呢？例17.2?证明4,+4, X4是一个环，并判断它是否是整环。证明 ? (1) 显然 4,+4 是交换群 , 其中单位元为 0。(2)由X4的定义，对任意a,b?4,则aX4b?4,所以X4满足封闭性。又对任意 a,b,c?4, 有ax 4bx 4c a x b mod 4 x 4c a x bx c mod 4 a x 4bx 4c所以结合律成立，进而4, X4是半群。(3)任意 a,b,c?4,有 ax 4b+4c a x b+cmod 4 a x b+ax
5、 c(mod 4)? a xbmod 4+ aXcmod 4(mod 4)? a X4b+4ax 4c又由X4的定义，运算x 4满足交换律，所以自然有b+4cx 4a b x 4a+4cX 4a所以分配律成立。综上,4,+4, x 4 是一个环。 一个环。2?n,2 X 42 0,所以2是一个零因子，故4,+4, 乂 4不是整环。推广？ n,+n, Xn是一个环。例17.3?证明Zx,+, X是整环，其中Z冈 是所有的x的整系数多项式的集合，“+”和“X”分别为多项式的加法和乘法。读者自行证明。17.1 域 域您的位置: 第 17章第 2 节第 1 点全屏 17.2? 域定义 17.3? 设
6、F,+,* 是一个代数系统, 其中 |F|1, 如果 : (1)F,+ 是一个交换群,其单位元记为0;(2)F?0,* 是交换群 ;(3) 运算“ * ”对运算“+”可分配; 则称 F,+,* 为域 (Field) 。由定义 , 显然域是一个整环。例17.4?证明Q,+, X是域，其中运算“ +”与“X”分别是有理数集合 Q上的普通加法和乘法。证明？显然|Q|1,Q,+是交换群,Q?0, X是交换群,加法对乘法的分配律成立,所 以Q,+, x是域。同样，读者可以验证实数集合R,复数集合C上定义的普通加法和乘法都是域。例17.5?证明7,+7, X7是一个域。证明？我们已经知道7,+7, X7是
7、一个环，因此要证明它是域，只需证明7?0,?是 一个交换群。为简单记,我们记axb为abo(1)封闭性：对任意的a,b?7?0,假设ax 7b 0,即ax 7b ab mod 7 0?贝U存在 k?Z,有ab 7k? 则有 7 整除 ab, 即7|ab? 因为 7 是素数 , 则有7|a,或者7|b?又a,b?7?0,则7不能整除a和b,矛盾，所以ax 7b?0,故X7在7?0 是封闭的。(2) 结合律与交换律: 读者自行证明结合律、交换律成立。 单位元:1?7?0,且对任意的a?7?0有ax 71 a 1 x 7a?所以单位元存在。逆元存在：对任意的a?7?0,因为7,a 1,所以存在s,t?Z,使得7s+ta 1则1 ta mod 7 则存在p?Z,使得k t+7p,其中k?7?0,有1 ta mod 7 ka mod 7 k x 7a而x 7满足交换律，所以有kx 7a 1 a x 7k即k是a的逆元。综上7?0, X7是一个交换群，所以7,+7, X7是域。通过上面的方法，我们有下面的推广：推广？如果p是素数，则,+p, x p是一个域。
