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1、本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供 相应的计算练习实例以及相应练习。第一章仿射正交张量1.1指标记号及两个符号一、指标记号1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：知 空间内任一 点坐标：气.，今后会遇到的应变张量e、应力张量t 等。2、求和约定例：空间内任一点p的向径可表示为：x = 3 x e = x e + x e + x e（1）i i 1 12 23 3i =1在（1）式中可发现是对指标i从1至3的取值范围内求和。可以将其简写为：x = xe + x e + x e = xe（2）1 12 23 3 i i这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一
2、项中，有某个指标重复出现一次且仅 一次（如（2）式中的指标i），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对 所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字 母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。例1: t =x n该例中，同一项中指标j有重复且只重复一次，所以为哑标。另一指标i不参与求和约定，称其为自由指标。该式展开为：i=1 时，t =t n =t n +t n +t n1 j1 j 11 121 231 3i=2 时，t =t n =t n +t n +t n2 j 2j12 122 232 3i=3 时，t =t n
3、 =t n +t n +t n3 j 3j13 123 233 3自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该 项所代表的实际求和项的项数。例1中，由于只有一个自由指标i，所以实际上它代表有31 = 3个表达式；右端项只有一个哑标j，所以该项展开后是31 = 3项的和。例 2： A = A + A + Aii 112233例 3 : 5= S11 + S22需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希腊字母书写的指标取值范围是1、2 （如例3中的指标a）。针对指标记号的练习题：练习1：写出A.= B C *（ 32个方程，每个方程右端有31个累加项
4、）练习2： W =1 t e （ 30个方程，32个累加项） 2 ij ij二、两个符号1、Kronecker 符号 8ij8 =J1，i = j0, i 丰 j写成阵列的形式即为：（8 ）=ij1 0 00 1 00 0 1Kronecker符号的特点：(1) 8 =8。投七(3)8 =8 +8 +8 = 3ii 112233 a 8 = a(5) A .6 . = A(6) 8 波 8 . =8.例4：向量a = ae和b = be，有： i ii ia土b = (a 土b )e注意：土可作为求和约定中“同一项”的分隔符=a b 8 = a b 注意：点乘（包括叉乘符号） j i j ij
5、 i ii i ia* = ae e = ab e i i j j i j i符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b的下标换成了 j。a2 = ara = aa 8 = aai j ij i i2、排列符号（置换符号）：12I ijk为123的顺时针排列 e z = J-1 ijk为123的逆时针排列 ijk0 jk取值有重复时所以e = e = e = 1， e = e = e = -1，其余21个值为0.还有：e = e = e = -e = -e = -ejikikj例 5： e xe = e ,e xe = e ,e xe = e123231312,则有：e x e = e
6、 ei j ijk k例6：向量a = ae和b = be，有：i ii ia x b = (ae )x(b e )= ab (e xeii jj ij i j则(axb) = e ab针对两个符号的练习题：)=e abeijk i j k练习3 :已知0 = e ,人和日为常数，试将此式开展：tj 二人0+ 2四e1.2坐标变换旧系：ox x x，单位基向量：ei单位基向量：ei坐标变换系数：p = eij i=cos (e , e)新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：e =p.e,e. = p e新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：X = p x., x = p x.向量f，在旧系下的分量
7、f.，新系下的分量为f，其坐标变换规律为:f=px,f=pfi ij j i ji j向量的解析定义：若有3个量，它们在ox x x和oxx x的分量分别为f和f，123123i i当两个坐标系之间的变换系数为p时，f与f之间按式f = p x , f =p f变换，/ i ii ij j i ji j则这3个量有序整体形成一个向量f，此3个量为向量f的分量。1.3张量的定义一、张量的定义1、0阶张量(标量)：30个分量，在旧系下为甲(x ,x ,x )，新系下p (x ,x ,x )，123123当进行坐标变换时满足p(x,x ,x ) = p(x ,x ,x )。1231232、一阶张量（
8、向量）：31个有序分量，满足a =P a , a =P ai ij l i ji j3、二阶张量：32个有序分量，满足T =p p T ,T =p p TTTT111213TTT212223TTT313233写成阵列形式为:T =ijij im jn mn ij mi nj mn记 T =（T ）, ij4、n阶张量，同上练习4:试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P8例 1.3-1）。练习5: P27,题1-5练习6： P27,题1-6二、张量的表示方法并向量表示法（实体表示法）：a = a.gB = B ee e ijk i j k1.4张量的代数运算1、张量的相等2、张
9、量相加减3、张量乘积r阶张量A,s阶张量B。它们的乘积C=AB为（r+s）阶张量乘积的运算性质：（1）服从分配律：（A+B）C = AC+BC（2）服从结合律：（AB）C = A（BC）（3）不满足交换律：AB。BA4、张量的缩并在r（ r 2）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和 约定。例7： b = A = A + A + A 缩并一次减少2阶k iik11k22 k 33 k5、张量的内积r（ r 0）阶张量A和s（ s 0）阶张量B的乘积中，对分别属于A和 B的指标进行一次缩并，称如此所得的r + s-2张量为张量A与B的内积，记为AB，约定：对张量A的最后一个指标和张量
10、B的第一个指标进行。例8 :知(A?=-12-3向量(b )=(1,2,2)。求内积A b和b A1.5商法则设一组数的集合T(i, j,k,l,m)，若它满足对于任意一个q阶张量S(如q=2,任意阶张量分量为S)的内积均为一个p阶张量(如p=3,三阶张量Uk)，即 在任意坐标系内以下等式均成立：T(i, j,k,l,m)S = * (对l，m应用了求和 约定)，则这组数的集合T(i,j,k,l,m)必为一个(p + q)阶张量。 1.6几种特殊张量对称二阶张量：A = A反对称二阶张量：C =Cij ji引入 C = e c c = e Ckj ijk i i 2 ijk kj，1c (1
11、c 球张量及偏张量：A = A 8 + A - A 8 ij 3 kk ij I ij 3 kk ij /各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。1.7二阶张量的特征值和特征向量1.8张量分析简介标量： (x,t)；向量： a (x, t)； T (x, t)8T1、对时间的导数：T =竺 dt2、张量场的梯度：gradT = VT =e 1(Tee)= T e ee、k dx I ij 1 jij,k k 1 j k73、张量场的散度：divT =矿T =4、5、curlT = V x T = e张量场的旋度：I=T (e x e散度定理：j divudV = j n -
12、udSVSj divTdV = j n - TdSVS(/e ( A、k dx ?)e = e T eeikl lj ,k i jj u dV = j nudSV i, is ij T dV = j nT dSV ij ,iS i ijG e e)= T ejk j k ij ,i jX (Tj e e.)练习7：题1-9第二章弹性波动力学绪论一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物 体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。6、物 体无初应力。第三章运动和变形3.1
13、弹性体运动和变形的表述一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动x = x,( x, t)二、运动和变形的数学表述：同一质点、不同时刻的向径：x = x(x,t)或位移：u = u (x, t)u (x, t ) = x(x, t)-xxf( x, t ) = x + u (x, t)u (x,t)= xf(x,t)-x. x(x,t)= x + u (x,t)ii i例 1 ：例 3.1-1 练习1：题3-2 练习2：题3-3 3.2质点的速度和加速度 v (x, t ) = u (x,t)a (x, t ) = v (x, t ) = u (x, t)3.3应变张量公式推导：从两点间的距离改
14、变出发来推导:(dsf -(ds =du8du du+I dxdxdx dx j i i jdxdx = 2 E dxdxi jij i j1 ( du 定义E = 2 dx格林应变张量du du du j + k k、dxdx dxV j iij 7例 2：例 3.3-1 练习3:题3-4 3.4小变形情形的应变张量和转动张量一、小变形情形下的应变张量：e = 2（u + u ）二、小变形位移的分解：u (Q)= ui,、1 I du (P)+ i i 21 dxjdu ) dx dx.i11 dudu |+社 + j dx21 dxdx I jji令转动张量:11 dudu)冬 =T尸-Ti 21dxdxjiIu(Q)= u(P)+a dx + e dxi i ij j ij j（刚体平移+刚体转动+变形位移）du = u（Q）- u
