版高考数学浙江专用一轮总复习检测：8.5　空间向量及其应用 Word版含解析

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1、8.5空间向量及其应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间角1.理解两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念.2.会用空间向量求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.2018浙江,8,19三种空间角直线与平面垂直的判定2017浙江,9,19二面角、直线与平面所成的角直线与平面平行的判定2016浙江文,18,14二面角、直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定2015浙江,13,17,8,文18,7三种空间角直线与平面垂直的判定、圆锥曲线2014浙江,17,20,文20二面角、直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定、立体几何应用问题空间向

2、量在立体几何中的应用1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.2.了解空间向量的概念,了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.4.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间的距离公式,并会解决简单的立体几何问题.5.理解直线的方向向量和平面的法向量.6.会用向量的语言表述立体几何中的平行、垂直关系.会用向量的方法证明有关的命题,了解向量的方法在研究立体几何问题中的作用.2018浙江,19直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定2017浙江,19直线与平面所成的角直线与平面平行的判定201

3、5浙江,15,17二面角2014浙江,20二面角直线与平面垂直的判定分析解读1.空间角是立体几何中的一个突出的量化指标,是空间图形位置关系的具体体现,因此,空间角是高考的必考内容.2.考查空间角的计算,既可能以选择题、填空题的形式出现,也可能以解答题的形式出现.以探索题、最值问题考查空间角的计算,常以解答题的形式出现,空间角的计算主要是传统法和向量法.3.在立体几何解答题中,建立空间直角坐标系(或取基底向量),利用空间向量的数量积解决直线、平面间的位置关系、角度、长度等问题越来越受到青睐,特别是处理存在性问题、探索性问题、开放性问题等,比用传统方法简便快捷,一直是高考的重点和热点.4.预计20

4、20年高考试题中,空间角的计算,空间向量在立体几何中的应用必是高考热点.复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一空间角1.(2018浙江嵊州高三期末质检,19,15分)如图,在菱形ABCD中,BAD=,ED平面ABCD,EFDB,M是线段AE的中点,DE=EF=BD.(1)证明:DM平面CEF;(2)求直线DM与平面DEF所成角的正弦值.解析(1)证明:连接AC与BD交于点O,连接MO.因为DOEF,DO平面CEF,EF平面CEF,所以DO平面CEF.因为M是线段AE的中点,所以MO是ACE的中位线,所以MOEC.又MO平面CEF,EC平面CEF,所以MO平面CEF,又MODO=O,MO平面

5、MDO,DO平面MDO,所以平面MDO平面CEF,又DM平面MDO,所以DM平面CEF.(2)解法一:因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又因为ED平面ABCD,AC平面ABCD,所以EDAC,又EDBD=D,所以AC平面DEF.设BD=2,则点A到平面DEF的距离AO=.因为点M是线段AE的中点,所以点M到平面DEF的距离h=AO=.设直线DM与平面DEF所成的角为,则sin =.故直线DM与平面DEF所成角的正弦值为.解法二:设AB的中点为G,连接DG,则DGDC.以D为坐标原点,DG,DC,DE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.取BD=2,则D(0,0,0),M,E(

6、0,0,1),F,所以=(0,0,1),=.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则即可取法向量n=(1,-,0).又=,所以cos=,故直线DM与平面DEF所成角的正弦值为.2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,19)如图,在四棱锥A-BCDO中,DO平面AOB,BOCD,OA=CD=2,OD=2,OB=4,AOB=120.(1)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值;(2)求二面角D-OA-C的余弦值.解析(1)如图,过点O在平面AOB内作OB的垂线OE,交AB于点E.DO平面AOB,ODOE,ODOB,分别以OE,OB,OD所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则各

7、点坐标为O(0,0,0),A(,-1,0),B(0,4,0),C(0,2,2),D(0,0,2),=(-,5,0),=(-,1,2).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则由n=0,n=0,得取x=5,得n=(5,2).设直线AC与平面ABD所成角为,又=(-,3,2),sin =|cos􀎮,n􀎯|=,故直线AC与平面ABD所成角的正弦值为.(2)设平面AOD的法向量为m1=(x,y,z),又=(,-1,0),=(0,0,2),由m1=0,m1=0,得取x=1,得m1=(1,0).设平面AOC的法向量为m2=(a,b,c),又=(,-1,0),=(0,

8、2,2),由m2=0,m2=0,得取b=,得m2=(1,-1).cos􀎮m1,m2􀎯=,由图可知二面角D-OA-C的平面角为锐角,故二面角D-OA-C的余弦值为.考点二空间向量在立体几何中的应用1.(2017浙江台州4月调研卷(一模),17)如图,在棱长为2的正四面体A-BCD中,E、F分别为直线AB、CD上的动点,且|EF|=.若记EF的中点P的轨迹为L,则|L|等于.(注:|L|表示点P的轨迹的长度)答案2.(2017浙江杭州二模(4月),19)如图,已知四边形ABCD是矩形,M,N分别为边AD,BC的中点,MN与AC交于点O,沿MN将矩形MNCD折起,

9、设AB=2,BC=4,二面角B-MN-C的大小为.(1)当=90时,求cosAOC的值;(2)当=60时,点P是线段MD上一点,直线AP与平面AOC所成角为.若sin =,求线段MP的长.解析设E为AB的中点,连接OE,则OEMN,以O为原点,OE,ON所在直线分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系(图略).(1)当=90时,A(2,-1,0),C(0,1,2),=(2,-1,0),=(0,1,2),cosAOC=-.(2)由=60得C(1,1,),D(1,-1,),M(0,-1,0),=(1,0,).设=(01),则=+=(,-1,).=-=(-2,0,),设平面AOC的法向量为n=(x,y,

10、z).n=0,n=0,=(2,-1,0),=(1,1,),取x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-),由题意得,=,即32-10+3=0,=或=3(舍去),在线段MD上存在点P符合题意,且MP=MD=.炼技法【方法集训】方法1求直线与平面所成角的方法1.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),19)如图(1)所示,四边形ABCD为梯形,ABCD,C=60,点E在CD上,AB=CE=2,BF=BD=,BDBC.现将ADE沿AE翻折到图(2)中APE的位置,使得二面角P-AE-C的大小为.(1)求PB的长度;(2)求证:PB平面ABCE;(3)求直线AB与平面APE所成角的正弦值.解析(1)

11、因为AB􀱀EC,所以四边形ABCE是平行四边形,所以BCAE,又因为BDBC,所以BDAE,所以AEFB,AEFP,所以PFB为二面角P-AE-C的平面角.(3分)由BF=,PF=2,得BP2=BF2+PF2-2BFPFcosBFP=9,所以BP=3.(5分)(2)证明:由BF=,PF=2,BP=3知,PB2+BF2=PF2,所以BFPB,(7分)又因为BFAE,PFAE,BFPF=F,所以AE平面PFB,所以AEPB,(9分)由可知,PB平面ABCE.(10分)(3)解法一:作BNPF于N点,连接AN.由(2)可知,AE平面BFP,又AE平面APE,平面BFP平面APE.又

12、平面BFP平面APE=PF,BN平面BFP,所以BN平面APE,(12分)所以BAN是直线AB与平面APE所成的角.(13分)易知BN=BFsin 60=,则sinNAB=.故直线AB与平面APE所成角的正弦值为.(15分)解法二:易知BF,BP,BC两两互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(3,0,0),A(-1,0),E(2,0),P(0,0,3).(11分)设平面APE的法向量为n=(x,y,z).又=(3,0,0),=(1,-,3),所以由即得取z=1,得n=(0,1).(13分)设直线AB与平面APE所成的角为,又=(1,-,0),所以sin =|cos|=

13、,故直线AB与平面APE所成角的正弦值为.(15分)2.如图,ABC是以C为直角的等腰直角三角形,直角边长为8,AEEC=53,DEBC,沿DE将三角形ADE折起,使得点A在平面BCED上的射影是点C,点M在AC上且MC=AC.(1)在BD上确定点N的位置,使得MN平面ADE;(2)在(1)的条件下,求CN与平面ABD所成角的正弦值.解析(1)由点A在平面BCED上的射影是点C,可知AC平面BCED,而BCCE,如图建立空间直角坐标系,可知各点的坐标为C(0,0,0),A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0).由MC=AC,可知点M的坐标为,设点N的坐标为(x,y

14、,0),则由点N在BD上可得y=8-x,即点N的坐标为(x,8-x,0),则=.设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z),则而=(0,-5,0),=(3,0,-4),所以取x=4,则z=3,可得n1=(4,0,3).MN平面ADE等价于n1=0,即4x+0(8-x)+3=0.解之可得x=2,即点N的坐标为(2,6,0),所以点N为BD的靠近D点的三等分点.(2)由(1)可知=(2,6,0),设平面ABD的法向量为n2=(p,q,r),由题意可知而=(-3,3,0),=(0,8,-4),可得取p=1,则q=1,r=2.可得n2=(1,1,2).设CN与平面ABD所成角为,则sin =.方法2求二面角的方法1.(2018浙江镇海中学期中,20)在多面体ABC-A1B1C1中,AA1BB1CC1,AA1=4,BB1=2,AB=4,CC1=3,ABBB1,C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点.(1)求证:平面ABC平面ABB1A1;(2)若C1E=2,求二面角C1-AB1-C的余弦值.解析(1)证明:设线段AB的中点为O,连接OE,CO,则OEAA1,且OE=3,(2分)AA1CC1,OECC1,又OE=CC1=3,四边形CC1EO为平行四边形,OCEC1.(4分)C1E