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1、四边形综合题1在ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF=时，直接写出AG与DG的数量关系2如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MPAB交边CD于点P，连接NM，NP（1）若B=60，这时点P与点C重合，则NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当NPC为等腰三角形时，求B的度数3菱形ABCD中，两
2、条对角线AC，BD相交于点O，MON+BCD=180，MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF（1）如图1，当ABC=90时，OEF的形状是；（2）如图2，当ABC=60时，请判断OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将MON的顶点移到AO的中点O处，MON绕点O旋转，仍满足MON+BCD=180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长4如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行
3、四边形；（2）若AEP是等边三角形，连结BP，求证：APBEPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求CPF的面积5如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQAP交CD于点Q，将BQC沿BQ所在的直线对折得到BQC，延长QC交BA的延长线于点M（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长6如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD=60，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点（1）求证：ADPECP；（2）若BP=n
4、PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数7在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P
5、在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系8在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH（1）若点P在线段CD上，如图1依题意补全图1；判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且AHQ=152，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）9如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QP
6、N绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明10如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，
7、求证：BCPDCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E如图b，求证：BEDQ；如图c，若BCP为等边三角形，判断DEP的形状，并说明理由11已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EFBD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动连接PF，设运动时间为t（s）（0t8）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数
8、关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由12已知菱形ABCD的边长为1，ADC=60，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为P 猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G
9、，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值13已知：在四边形ABCD中，ADBC，BAC=D，点E、F分别在BC、CD上，且AEF=ACD（1）如图1，若AB=BC=AC，求证：AE=EF；（2）如图2，若AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）如图3，若AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明14正方形ABCD的边长为4cm，点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转（090）得线段EF，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；（1）如图，分别连接线段AF、FH、AH，AH交EF于点I；求证FAH的度数是一个常
10、数；求证：2AE2=AHIH（2）如图，若=60，点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J，使EBJ的周长最小？若存在，求出EBJ的最小周长；若不存在，说明理由（3）如图，若=45，点E从A出发，按1cm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运动，设点E的运动时间为t（t0），正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请用含t的代数式表示S15请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DECF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为EDA和FCD都是EDC的余角，就会由ASA判定得出ADE
11、DCF（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DECF于点P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论16如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且DMF=ABF（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM；（3）若矩形ABCD改为ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由17在菱形ABCD和正三角形BGF中，
12、ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明（提示：延长GP交CD于点E）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想18问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE变式探究：分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题
13、，请回答：（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F求证：OG=OE（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且ABC=60，其余条件不变，试求的值拓展延伸：（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“ABC=60”改为“ABC=”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“”的式子表示的值19已知矩形ABCD，AB=4，BD=2现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1最初矩形EFGH的GH边放置在BCD的平分线处（如图1），现将矩形EF
14、GH 沿着FG作一条直线l，再连接AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与 GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题（1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积（2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线l开始出发，以1m/s的速度移动设移动时间为t，矩形ABCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？（3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时CEH为等腰三角形，这时，在AHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值20在菱
