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1、 第3讲 反比例函数（1）【精彩知识】1反比例函数的定义 一般地，如果两个变量，之间的关系可以表示为（或）（为常数，且）的形式，那么称是的 函数。自变量与的取值范围是 。是的反比例函数与成反比例函数。2.反比例函数的图象和性质反比例函数（）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线成 对称，与两坐标轴 交点。当k0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，随的增大而 ；当k0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，随的增大而 。3.反比例函数（）中的比例系数的几何意义过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线PM、PN所得的矩形PMON的
2、面积；若连接PO，则。【典例解析】考点1: 反比例函数的概念【例1】已知（1）如果是正比例函数，求的值；（2）如果是反比例函数，求的值。【例2】已知，其中与成反比例，与成正比例，且所表示的函数图象相交于点P（1，5）。求当时的值。变式训练1：1.已知函数是反比例函数，则的值为 ；2. 若与成反比例函数，与成正比例函数，则是的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D二次函数考点2: 反比例函数的图象和性质【例3】若M、N、P三点都在函数的图象上，则的大小关系为（）A、 B、 C、 D、【例4】如图，一次函数y=x+3的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别
3、过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE有下列四个结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF； 其中正确的结论是 。变式训练2：1. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=x+6于A、B两点，若反比例函数（x0）的图像与ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）A2k9 B. 2k8 C. 2k5 D. 5k82. 如图，P是函数(x0)的图象上的一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PMx轴于点M，交AB于点E，作PNy轴于点N，交AB于点F，则AFBE的值为 。考点3: 反比例函数（）中的比例系数的几何意义与面积法的综合运用【例5
4、】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图象上若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S则当S=m(m为常数，且0m4)时，则点R的坐标是 。(用含m的代数式表示)变式训练3：1.如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQy轴，分别交函数（x0）和（x0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（ ）A.POQ不可能等于900 B. C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. POQ的面积是G2.如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2
5、）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 考点4:函数综合题（待定系数法+数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）【例6】已知反比例函数与一次函数，其中一次函数的图象经过（a,b）、（a+1,b+k）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；（3）利用（2）的结果，在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.变式训练4：如图，一
6、次函数的图象 与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CDx轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，AOB的面积为1，（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据两函数图象直接写出不等式的解集。【例7】如图，已知双曲线，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CAx轴，过D作DBy轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC（1）求k的值；（2）若BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由变式训练5：如图,直线与函数（x0，m0）的图像交于A，B两点，且与轴分别交于C，D两点（1）若直线y=kx+4与直线y=-x-2平
7、行，且AOD面积为2，求的值；（2）若COD的面积是AOB的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，AE与BF交于H点求的值； 求k与之间的函数关系式（3）若点P坐标为（2，0），在（2）的条件下，是否存在，使得APB为直角三角形，且若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【例8】如图，直线y=x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2bxc经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD轴于D，交AB于点E当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直
8、线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【课后测试】1在同一坐标系内,表示函数与的图像是下图中的（ ）（A） （B） （C） （D）2如图，直线交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则( ) A8 B6 C4 D 第2题图 第3题图 第4题图3如上图中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，若取1，2，3，20，对应的RtAOB的面积分别为，则= ；4两个
9、反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA的面积相等； 四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等； 当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是 。5.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tanBOA=（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与
10、x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长 6.如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 【例4】根据题意可求得D（1，4 ），C（4，1），则F（1，0），DEF的面积是：，CEF的面积是：，CEF的面积=DEF的面积，故正确；即CEF和DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EFCD，A
11、OBFOE，故正确；DF=CE，四边形CEFD是等腰梯形，所以DCECDF，正确；BDEF，DFBE，四边形BDFE是平行四边形，BD=EF，同理EF=AC，AC=BD，故正确；正确的有4个【例7】解：（1）双曲线经过点D（6，1），解得k=6。（2）设点C到BD的距离为h，点D的坐标为（6，1），DBy轴，BD=6，SBCD=6h=12，解得h=4。点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，点C的纵坐标为14= 3。，解得x= 2。点C的坐标为（2，3）。设直线CD的解析式为y=kxb，则，解得。直线CD的解析式为。（3）ABCD。理由如下：CAx轴，DBy轴，点C的坐标为（2，3），
12、点D的坐标为（6，1），点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，1）。设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得。直线AB的解析式为。AB、CD的解析式k都等于相等。AB与CD的位置关系是ABCD。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。7解：（1）直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（4，0），B（0，4）。抛物线y=x2bxc经过A、B两点， ，解得 。抛物线解析式为y=x23x4。令y=0，得x23x4=0，解得x1=4，x2=1，C（1，0）。（2）如图1，设D（t，0）。OA=OB，BAO=45。E（t，t4），P（t，t23t4）。PE=yPyE=t23
