概率论与数理统计第一章习题解答

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1、概率论与数量统计第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间:(1) 记录一个班 一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的产品记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果。(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标。解:(1) 设该班有n人,则该班总成绩的可能值是0,1,2,100n。 故随机试验的样本空间S=i/n|i=0,1,2,100n。(2)随机试验的样本空间S=10,11,12,。(3)以0表示检查到一个次品,1表示检查

2、到一个正品,则随机试验的样本空间S=00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111。(4)随机试验的样本空间S=(x,y)|x2+y21。2、设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:(1)A发生,B 与C都不发生。(2)A与B都发生,而C不发生。(3)A,B,C中至少有一个发生。(4)A,B,C都发生。(5)A,B,C都不发生。(6)A,B,C中不多于一个发生。(7)A,B,C中不多于两个发生。(8)A,B,C中至少有两个发生。解:(1)A (2)AB (3)ABC (4)ABC(5) (6)ABC(7)S

3、-ABC (8)ABCABACBC3、(1)设A,B,C为三个事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求AB,ABC,C,C的概率。(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求 P(A),(ii)若P(AB)=1/8,求P(A)。解:(1)因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0。故P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC

4、)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。(2)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P()=1-P(AB)= 4/15,P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60,P()=1- P(ABC)=3/20,P(C)=P()- P()=7/60,P(C)=P()+ P(C)- P(C)=4/15+1/5-7/60=7/20。(3)(i)因为A,B互不相容,所以AB=,P(AB)=0。故 P(A)=P(A)-P(AB)=

5、1/2。(ii)P(A)= P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。4、设A,B为两个事件。(1)已知A=B,验证A=B。(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。证明:(1)A=A(B)=ABA=ABB=(A)B=B。(2)因为AB =,所以P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)= P(A)+ P(B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)。5、10 片药片中有5 片是安慰剂。(1)从中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率。(2)从中每次取一片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率。解:(

6、1)p=1-/-/。(2)p=/。6、在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小号码为5的概率。(2)求最大号码为5的概率。解:(1)从10人中任选3人的选法有种。要求最小号码为5,即有一个人的号码是5,其他两人的号码都在6到10之间。故共有种不同的选法。故最小号码为5的概率p=/。(2)同理最大号码为5的概率p=/。7、某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所订颜色如数得到订货的概率是多少?解:p=/。8、在1500

7、件产品中有400 件次品、1100件正品。任取200件。(1)求恰有90件次品的概率。(2)求至少有2件次品的概率。解:(1)恰有90件次品的概率p=/。(2)至少有2件次品的概率p=1- /-/。9、从5双不同的鞋子中任取4只。问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解: 设A为事件“这4只鞋子中没有配成一双”,则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是。从10只鞋子中任取4只有种取法,事件A的取法可以有10(第一只的取法)8(第二只的取法,和第一只一双的那一只也不能取了)6(第三只的取法)4(第一只的取法)。故P(A)=16/。P()=1-P(A)=1-16/。10、在11张卡片上分

8、别写上probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率。解: 从11个字母中选取7个字母有种选法。由于b和i各有两个,故排列ability共有4种不同的选法。因此排列结果为ability的概率p=4/。11、将3只球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。解: 杯子中球的最大个数为1的概率p=/43。杯子中球的最大个数为2的概率p=1-/43-/43。杯子中球的最大个数为3的概率p=/43。12、50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件

9、强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少? 解:一个部件强度太弱的事件相当于从50只铆钉中随机地选出的3只铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。故p=/。或p=/。13、一个俱乐部有5名一年级学生,2名二年级学生,3名三年级学生,2名四年级学生。(1)在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。(2)在其中任选5名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解:(1)在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率=/。(2)设事件A为“一年级有2名学生,其他年级各有一名”,事件B为“二年级有2名学生,其他年级各有一名”,事件C为“三年级有2名学生,

10、其他年级各有一名”,事件D为“四年级有2名学生,其他年级各有一名”,。则A,B,C,D两两不相容,且P(A)=/,P(B)=/,P(C)=/,P(D)=/,所以在其中任选5名学生,一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=240/。14、(1)已知P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求条件概率P(B|A)。(2)已知P(A)=1/4,P(BA)=1/3,P(AB)=1/2,求P(AB)。解:(1)因为P(B|A)=P(B(A)/P(A),P(A)=P(A)+P()-P(A)=1- P()+1- P(B)-0.5=0.8,P(B(A)=P(

11、AB)=P(A)-P(A)=0.7-0.5=0.2,所以P(B|A)=0.25。(2)因为P(BA)=P(AB)/P(A),所以P(AB)=1/12。又因为P(AB)=P(AB)/P(B),所以P(B)=1/6。故P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3。15、掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。16、据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P孩子得病=0.6,P母亲得病|孩子得病=0.5,P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解:设事件A为“孩子得病”,事件B为“母亲得病”,事件C为“父

12、亲得病”,则要求的概率为P(AB)。由已知,P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,所以P(AB)=P(AB)P(|AB)=P(A)P(B|A)1- P(C|AB)=0.60.50.6=0.18。17、已知在10件产品中有2件次品,在其中取两次,每次任取一件,作不放回抽样。求下列事件的概率。(1)两件都是正品。(2)两件都是次品。(3)一件是正品,一件是次品。(4)第二次取出的是次品。解: 设事件A为“第一件是正品”,事件B为“第二件是正品”,则(1)两件都是正品的概率P(AB)=/(或=P(A)P(B|A)=4/57/9)。(2)两件都是次品的概率P()=/(或=P(

13、)P(|)=1/51/9)。(3)一件是正品,一件是次品的概率P(AB)=P(A)P(|A)+P()P(B|)=4/52/9+1/58/9。(4)第二次取出的是次品的概率P()=P(A)+P()=P(A)P(|A)+P()P(|)=4/52/9+1/51/9。18、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数,则此概率是多少?解: 设A表示事件“第一次拨通所需电话”,B表示事件“第二次拨通所需电话”,C表示事件“第三次拨通所需电话”,D表示事件“拨号不超过三次接通所需电话”。则D=ABC,所以P(D)=P(A)+P(B)+

14、P(C)= P(A)+P()P(B|)+ P()P(C|)= P(A)+P()P(B|)+ P()P(|)P(C|)=1/10+9/101/9+9/108/91/8。当已知最后一个数字是奇数时,则P(D)=1/5+4/51/4+4/53/41/3。19、(1)设甲袋中装有n只白球、m只红球;乙袋中装有N只白球、M只红球。今从甲袋中任意取一只球放入袋中,再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少?(2)第一只盒子装有4只白球、5只红球;第二只盒子装有5只白球、4只红球。先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中,然后从第二个盒子中任取一只球。求取到白球的概率。解:(1)设A表示事件“从甲袋中

15、取到的是红球”,B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。则P(B)=P(AB)+P(B)=+P(C)= P(A)P(B|A)+P()P(B|)=m/(m+n)N/(M+N+1)+ n/(m+n)(N+1)/(M+N+1)。(2)设A表示事件“从第一个盒子中取到0个红球”,B表示事件“从第一个盒子中取到1个红球”,C表示事件“从第一个盒子中取到2个红球”,D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。则P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(A)P(D|A)+ P(B)P(D|B)+ P(C)P(D|C)=/+/+/。20、某种产品的商标是“MAXAM”,其中有2 个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回后仍“MAXAM”的概率。解: 设A1,A2,A3,A4,A5分别为事件“脱落M、M”,“脱落A、A”,“脱落M、A”,“脱落M、X”,“脱落A、X”,。D为事件“放回后仍为MAXAM”。因为P(A1)= P(A2)=/,P(A3)=/,P(

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