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1、传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！球的体积和表面积学习目标1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一球的体积公式与表面积公式1.球的体积公式VR3(其中R为球的半径).2.球的表面积公式S4R2.思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面.知识点二球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一球的表面积和体积例1(1)已知球的
2、表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积.解(1)设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR343.(2)设球的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.跟踪训练1一个球的表面积是16，则它的体积是()A.64 B. C.32 D.答案D解析设球的半径为R，则由题意可知4R216，故R2.所以球的半径为2，体积VR3.题型二球的截面问题例2平面截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6答案B解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1.OM.即球的半径为.V()3
3、4.跟踪训练2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为_.答案9解析如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知，得解得所以球的半径RAB，所以S球4R29.题型三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S4126221224.该几何体的体积为V23138.跟踪训练3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解设正方体的棱长
4、为a.正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)所示，则有2r1a，即r1，所以S14ra2.球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)所示，则2r2a，即r2a，所以S24r2a2.正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，则有2r3a，即r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.轴截面的应用例4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.分析分别表示
5、出取出铁球前后水的体积由水的体积不变建立等式求出所求量.解如图，O是球的最大截面，它内切于ABC，球的半径为r.设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E.则DOr，ADr，ABACBC2r，CD3r.由图形知V圆锥CEV圆锥CDCE3CD3.又V圆锥CD(r)23r3r3，V圆锥CEV圆锥CDV球O3r3r3r3，3r3CE3(3r)3，CEr.球从容器中取出后，水的深度为r.1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36，144 B.36，36C.144，36 D.144，1442.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A. B.1 C.2 D.33.两个半径为1的实心铁
6、球，熔化成一个球，这个大球的半径是_.4.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍.5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.一、选择题1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A. B. C.4 D.322.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()A.8 B.8 C.8 D.43.两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()A.19 B.127 C.13 D.114.设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是()A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm35.若与球外切的
7、圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A.4(rR)2 B.4r2R2C.4Rr D.(Rr)26.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A. B.4 C.2 D.7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3二、填空题8.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为_ m3.9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为_
8、.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是_.11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.三、解答题12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中BAC30)13.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案1.答案B解析球的半径为3，表面积S43236，体积V3336.2.答案D解析设球的半
9、径为R，则4R2R3，所以R3.3.答案解析设大球的半径为R，则有R3213，R32，R.4.答案84解析球的半径为R时，球的体积为V1R3，表面积为S14R2，半径增加为2R后，球的体积为V2(2R)3R3，表面积为S24(2R)216R2.所以8，4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.5.答案3解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.课时精练一、选择题1.答案C解析由题意可知，6a224，a2.设正方体外接球的半径为R，则a2R，R，V球R34.2.答案A解析球的半径为1，且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体
10、的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a24，即a2.正方体的表面积为6a268.3.答案A解析由表面积公式知，两球的表面积之比为RR19.4.答案D解析由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为 cm3.5.答案C解析方法一如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为S球4r4Rr.方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球
11、的表面积为S球4Rr.6.答案D解析正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱的体对角线的长为2.又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，球的半径R1.故球的体积为VR3.7.答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm).设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3).二、填空题8.答案918解析将三视图还原为实物图后求解.由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V2136918.9.答案解析先求出球的半径，再根据正方
12、体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a，球半径为R，则R3，R，a3，a.10.答案解析由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为R，球心为O，正四棱锥底面中心为E，则OE|4R|，所以(4R)2()2R2，解得R.所以球的表面积S4R2.11.答案4解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为r26r6r3，高度为8 cm的水的体积为8r2,3个球的体积和为3r34r3，由题意得6r38r24r3，解得r4(cm).三、解答题12.解如图所示，过C作CO1AB于O1.在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，RRR2，RRR2，S几何体表S球 R2R2R2.故旋转所得几何体的表面积为R2.13.解(1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于O，O1内切于ABC.设O的半径为R，由题意，得R3972，所以R3729，R9，所以CE18.已知CD16，所以ED2.连接AE，因为CE是直径，所以CAAE，所以CA2CECD1816288，所以CA12，因为ABCD，所以AD2CDDE16232，所以AD4，S圆锥侧41296.(2)设内切球O1的半径为r，因为ABC的周长为2(124)32，所以SABCr32816，解得r4，所以内切球O1的体积V球r3.
