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1、数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法(1)公式法等差数列的前n 项和公式nn a1an na1n n 1Sd .22等比数列的前n 项和公式( )当 q 1 时， Sn na1；a1 1 qn1nn a a q( )当 q 1 时， S1 q1 q .常见的数列的前n 项和： 12 3+n= n(n1) ， 1+3+5+(2n 1)= n22n(n1)(2n 1) ， 13+n3 = n(n 1)212223
2、2+n2 =2333等62(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5)错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求 an nnn 分 b 的前 n 项和，其中 a 和 b别是等差数列和等比数列(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an ( 1)n f(n)类
3、型，可采用两项合并求解例如， Sn1002 992 982972 22 12 (100 99) (98 97) (2 1) 5 050.12. 常见的裂项公式(1)11 11；n nn n 111 11(2)n nk k(n n k)；(3)2n1 1( 11)；1 2n 122n 1 2n1(4)1111；n n 1 n 22 n n 1 n 1 n 21 1(5) n n k k( n k n)1111(6)设等差数列 an 的公差为 d，则 nn 1d(ann 1)a aa数列求和题型考点一 公式法求和11.(2016 新课标全国 )已知 an 是公差为 3的等差数列，数列 bn 满足
4、b1 1，b23， anbn 1 bn1 nbn.(1) 求 an 的通项公式；n项和 .(2) 求 b 的前 n2.(2013 新课标全国 ， 17)已知等差数列 an 的公差不为零，a1 25，且 a1， a11， a13 成等比数列 .(1) 求 an 的通项公式；(2) 求 a1 a4a7 a3n 2.变式训练1.(2015 四川， 16)设数列 an( n 1， 2， 3， )的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an a1，且 a1， a2 1， a3 成等差数列.(1) 求数列 an 的通项公式；1(2) 设数列an 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.22.(2014 福建， 17
5、)在等比数列 an 中， a2 3， a5 81.(1) 求 an；(2) 设 bn log 3an，求数列 bn 的前 n 项和 Sn.考点二 错位相减法1.(山东 )已知数列 an的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn是等差数列，且 an bn bn 1 .（ ）求数列 bn的通项公式；（ ）令 cn(an1)n 1cn 的前 n 项和 Tn.(bn2)n . 求数列2.(2015 天津， 18)已知数列 an 满足 an 2 qan(q 为实数， 且 q 1)，nN* ，a1 1，a22，且 a2 a3，a3 a4，a4a5 成等差数列 .(1) 求 q 的值和 an 的通项公式；(
6、2) 设 bnlog 2a2n， nN* ，求数列 bn 的前 n 项和 .a2n 1变式训练1.(2014 江西， 17)已知首项都是1 的两个数列 an ， bn( bn0， nN* )满足 anbn 1 an1bn 2bn 1bn 0.an(1) 令 cnbn，求数列 cn 的通项公式；3(2) 若 bn 3n 1，求数列 an 的前 n 项和 Sn.2.(2014 四川， 19)设等差数列nnnx 的图象上 (nN*). a 的公差为d，点 (a ， b ) 在函数 f(x) 2(1)若 a1 2，点 (a8， 4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列 an 的前 n 项和 Sn；(2
7、)1221 ，求数列an的前 n 项和 Tn若 a 1，函数 f(x)的图象在点 (a ， b ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ln 2bn.3.(2015 湖北， 18)设等差数列 an 的公差为d，前 n 项和为Sn，等比数列 bn 的公比为q，已知 b1 a1， b2 2， q d， S10100.(1) 求数列 an ， bn 的通项公式；(2) 当 d1 时，记 cnan，求数列 cn 的前 n 项和 Tn . bn44 (2015 山东， 18)设数列 an 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn 3n 3.(1) 求 an 的通项公式；(2) 若数列 bn 满足 anbn
8、log3an，求 bn 的前 n 项和 Tn.5.(2015 浙江， 17)已知数列 an 和 bn 满足 a1 2， b1 1， an 1 2an(nN* )， b11b2 1b3 1bn bn 11( nN * ).23n(1)求 an 与 bn；(2)n nnn记数列 a b 的前 n 项和为 T ，求 T .56.(2015 湖南， 19)设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a1 1， a2 2，且 an2 3Sn Sn 1 3, nN * .(1) 证明： an 2 3an ；(2) 求 Sn.考点三分组求和法1.(2015 福建， 17)在等差数列 an 中， a2 4， a4 a7 15.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn 2an 2 n，求 b1b2 b3 b10 的值 .nnn2n， nN *.2.(2014 湖南， 16)已知数列 a 的前 n 项和 S 2(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn 2an ( 1) nan，求数列 bn 的前 2n 项和 .6变式训练1.(2014 北京， 15)已知 an 是等差数列，满足 a1 3，a
