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1、新沂市第一中学高三数学教学案主备：马继祥总课时数：三角函数的值域与最值【考点要求】1 根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域；2 运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。【重点难点】化归思想及其运用途径【知识梳理】求三角函数的最值，主要利用正、 余弦函数的有界性，一般通过三角恒等变换化归为下列基本类型处理；（ 1） ya sin xb,设 t sin x 化为一次函数yatb在闭区间 t1,1上的最值求解；（2） ya sin x b cos xc ，引入辅助角(tanb ) ，化为 y a2b2 sin(x )c 求a解；（3） yasin 2
2、 xbsin xc ， 设 s i xnt化,为二次函数求解；（4）y a sin x cos xb(sin xcos x)c ，设 t sin xcosx 化为二次函数 ya(t 21)cbt2在闭区间 t2, 2 上的最值求解； （4） ya sin xb 根据正弦函数的有界性，可用“分c sin xd析法”、“不等式法” “数形结合法”求解。【课前预习】1 （ 09 福建卷）函数 y=2sin x cos x 的最大值是 _，最小值是 _；函数 y =(cos x4)235 15 的最大值是 _，最小值是 _；函数 y1sin x 的最大值是，最小值164是。2 若 | x |， f (
3、x) cos2x sin x 的最小值是43 函数 y = sin x 2sin x 值域是4 函数 y=log 2 (1 sin x) log 2 (1 sin x)，当 x， 时的值域为645 求下列函数的值域（ 1） y3sin x4cos x（ 2） ysin x3 cos x(x)221新沂市第一中学高三数学教学案主备：马继祥总课时数：【典型例题】题型一：可化为二次函数的求最值问题例 1 已知sin xsin y1 ,求 sin y cos2 x 的最大、小值 。3（变式练习） 求 f ( x)24a sin xcos2x 的最小值 g( a) 的表达式。题型二：利用有界性求三角函数
4、的最值问题：例 2、 y = 1 cos 2x3 sin x cos x 1 （ x R）；22题型三：应用问题例 3、扇形 AOB的半径为 1，中心角为 600 ， PQRS是扇形的内接矩形，问 P 在怎样的位置时，矩形 PQRS的面积最大，并求出这个最大值。2新沂市第一中学高三数学教学案主备：马继祥总课时数：【巩固练习】1 已知方程sin2x cos xa = 0 有实数解，则a 的取值范围是_。2求 f ( x)cos2 x sin x 1, x, 5的值域。663、设函数y = a cos x b （ a、 b 为常数）的最大值为1，最小值为 7，求函数 a cos x bsin x的
5、最大值和最小值。4、（ 09 北京文）（本小题共12 分）已知函数f ( x)2sin(x)cos x .（）求f (x) 的最小正周期；（）求f ( x) 在区间,上的最大值和最小值.62【本课小结】【课后作业】1 求函数y = (sinx 2) (cosx 2)的最大、最小值。3新沂市第一中学高三数学教学案主备：马继祥总课时数：2. （ 09 天津卷）已知函数f (x)2co s2x2sinx cosx1 （ xR,0 ）的最小值正周期是2（）求的值；（）求函数f ( x) 的最大值，并且求使f ( x) 取得最大值的x 的集合3. 已知函数23 a sin x cos x a b (a0)的定义域为 0， , 值域为 5,1 ，f(x) = 2 asin x 22求常数a、b 的值。4
