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1、1.7 静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程散度方程和旋度方程.1. 矢量场的散度和高斯定理 (参见教材 P848)在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积厶V,其闭合曲面为S,定义矢量场 A通过S的净通量与AV之比溜lim-= V卫的极限(1.7-1)为矢量场A在该点的散度(divergence of A)它是一个标量.显然=f卫-浚 H 0若则该点散度A工0,该点就是矢量场A的一个源点则该点散度A0,该点不是矢量场A的源点若所有点上均有A = 0, A就称为无散场.在直角坐标系中(1.7-2) A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定
2、理(Gauss, Theorem)对任意闭合曲面S及其包围的体积V,下述积分变换成立：A-dS = jv - AdV(1.7-3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有A = 0.这 意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.2. 电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程拦羽=丄L pdV(1.7-4)其中r表示电荷密度分布函数由高斯积分变换定理(1.7-3), (1.7-4)的左边可化为V内E的 散度之体积分，因此有畀-EdV = pdV设想体积V缩小成包含某点
3、P (x,y,z)的无限小体积元dV,便得v- E(兀儿可=pg詡宅(1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式一一电场的散度方程它表示电荷分布点，即r # 0的点上 E丰0,这些点就是电场的源点.3. 矢量场的旋度和斯托克斯定理 (参见教材 P853)在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，$=$月是L 围成的面积元矢量, 并且约定：面积元AS的法向卫，与路径积分绕行方向符合右旋规则当AS缩小成某点P (x,y,z)的无限小邻域，定义如下极限a dl(1.7-6)为矢量场 A 的旋度XA (curl of A , rotation of A )在分方向的投影按上述约定
4、若(XA) n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋若(XA) n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋若(XA) n =0, A线在该点不形成涡旋 如果在所有点上均有X A =0,则A场就称为无旋场 在直角坐标系中， A 的旋度为(1.7-7)XA 在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材 P855.斯托克斯定理(Sto kes, Theorem)对任意闭合路径L及其围成的曲面S,下述积分变换成立：拦成=l曲(1.7-8)即，矢量场 A 沿任意闭合路径 L 的环量，等于它在 L 所围的任意曲面 S 上各点旋度的面积分. 由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零一一保守场，它就是无旋场
5、，即处处有 XA = 0.4. 静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径 L ， E 的环量均为零E-dl(1.7-9)据斯托克斯定理（1.7-8），我们可得到（1.7-9）的微分形式 X E = 0 (1.7-10)这表示，静电场是无旋场如大家所知，静电场的E线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡 旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构（1.7-5）和（1.7-10）是静 电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：（1.7-5）X E = 0（1.7-10）（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理M 的=土二 pdV和环路定理的微分形式（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质 电荷分布点是电场的源点 静电场的场线无涡旋状结构
