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1、福建师范大学22春复变函数补考试题库答案参考1. 已知一可微的数量场u(x，y，z)在点M0(1，2，1)处，朝点M1(2，2，1)方向的方向导数为4，朝点M2(1，3，1)方向的方向导数已知一可微的数量场u(x，y，z)在点M0(1，2，1)处，朝点M1(2，2，1)方向的方向导数为4，朝点M2(1，3，1)方向的方向导数为-2，朝点M3(1，2，0)方向的方向导数为1，试确定在点M0处的梯度，并求出朝点M4(4，4，7)方向的方向导数记 (i=1，2，3，4)，则有 l1=i，l2=j，l3=-k，l4=3i+2j+6k又记点M0处的梯度为 grad u=uxi+uyj+uzk 由于方向导
2、数等于在同一点处的梯度在该方向上的投影，即有 =gradlu=grad u， 则由条件知有 =grad ui=ux=4，=grad uj=uy=-2, =grad u(-k)=-uz=1，即uz=-1 从而得所求的梯度为 grad u=4i-2j-k 因为 故有 2. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案：设日
3、产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数
4、令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本3. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点在(0，0，a)处 则 dF的三个分量为 ， 所求力F=Fx，Fy，Fz 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcossin，y=Rsinsin z=Rcos 所以 dS=R2sindd， 故 注意引力是一个向量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加 令a
5、2+R2-2aRcos=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为 所以 (aR) 所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 4. 计算由曲线y=2x与直线y=x2，y=x围成的平面图形的面积。计算由曲线y=2x与直线y=x2，y=x围成
6、的平面图形的面积。5. 试给出函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件试给出函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件必要性 设函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，由于点x关于x=a对称的对称点为2a-x， 故有f(x)=f(2a-x) 令x=t+a，则f(t+a)=f(a-t)，即f(x+a)=f(a-x) 充分性显然 因此f(x+a)=f(a-x)是函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件 6. 零测度集的任何子集都是可测集。( )A.正确B.错误参考答案：B7. 若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有( ) Ady=f&39;(esinx)desi
7、nx Bdy=f&39;(esinx)esinxcosxdx Cdy=f若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有()Ady=f(esinx)desinxBdy=f(esinx)esinxcosxdxCdy=f(esinx)dxDdy=f(esinx)desinxAB令u=esinx，则y=f(u) dy=f(u)du=f(esinx)desinx，故(A)符合，(C)排除 又desinx=esinx(sinx)dx=esinxcosxdx dy=f(esinx)desinx=f(esinx)esinxcosxdx，所以(B)符合 (D)中dy=f(esinx)desinx=f(esinx)
8、esinxdesinx，所以(D)也排除 8. 唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法正确答案： A9. 证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根记f(x)=x3-3x+5，用反证法假设f(x)=0在0，1内有两个不同的实根x1，x2，那么f(x1)=f(x2)=0，又因为f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，所以由罗尔中值定理知，存在一点(x1，x2)
9、(0，1)，使得f()=0 但f(x)=3(x2-1)只有两个实根x=1，因此不可能存在(x1，x2)(0，1)，使得f()=0，于是推出矛盾 10. 1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：y=c1+2c2x，y=2c2，代入方程后得 $y=3c1e3x+4c2e4x,y=9c1e3x+16c2x4x，于是 左边=9c1e3x+16c2e4x-7(3c1e3x+4c2e4x)+12(c1e3x+c2e4x) =e3x(9c1-21c1+12c1)+e4x(16c2-28c2+12c2) =0=右边$于所给函数关系xy=c1ex+c2e-x两边对x求
10、导两次，得 xy+y=c1ex-c2e-x xy+2y=c1ex+c2e-x 注意到c1ex+c2e-x=xy，上面的第二个关系式便说明 xy+2y=xy 成立，即所给函数满足微分方程. 注意，此题亦可单独计算y，y，再代入微分方程中验证，但计算量较大$，y=4c1e2x+25c2e-5x，于是 =c1e2x(4+6-10)+c2e-5x(25-15-10)+2x =右边$于所给函数关系两边求导二次，有 解得，代入微分方程中： 11. 不存在这样的函数f：在区间a，b上增且使得f&39;(x)在a，b上积分值fdx。( )A.正确B.错误参考答案：B12. 证明可导的偶函数的导函数为奇函数证明
11、可导的偶函数的导函数为奇函数法一f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，且在点x可导。由导数定义： 所以偶函数的导函数为奇函数 法二利用复合函数求导法则，设f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x) 两边同时对x求导，得 -f(-x)=f(x)，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数 类似可以证明可导的奇函数的导函数为偶函数 13. 设(X1，X2，Xm)与(Y1，Y2，Yn)分别是取自总体 X与Y的两个样本XB(1，p1)，YB(1，p2)，其中p1，p2均为未知，0p1，设(X1，X2，Xm)与(Y1，Y2，Yn)分别是取自总体 X与Y的两个样本XB(1，p1)，YB(1，p2
12、)，其中p1，p2均为未知，0p1，p21当m，n较大时，试用近似方法导出未知参数p1- p2的一个双侧1-置信区间(提示：利用定理7.9(ii)m，n较大时，近似有 14. 求由抛物线y2=8x与直线xy6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积求由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积15. 函数y=x21 的驻点是 x=_.函数y=x2-1 的驻点是 x=_.参考答案：016. 试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集根据题意A是有限集，则AN(N是自然数集)是可列集，可知(AN)B是可列集，而AB
13、(AN)B，而AB是无限集，由于可列集的任何无限子集是可列的，故AB为可列集17. 一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?成立我们可严格地表述为：设P(A)=0或1，则A与任一事件B独立不妨设P(A)=0(P(A)=1同样可证)，P(A)且P(AB)=0，导致P(AB)P(A)=0，于是P(AB)=0，所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，此即A，B独立 18. 计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)当R1时，L不包含原点，因此P、Q在L所围的闭区域D上具有一阶连续偏导数，由格林公式，原式= 当R1时，原点在L所围的区域内，需删除此点才可用格林公式，如图10-3所示，作小椭圆l：4x2+9y2=2(应小到使l包含在L内)，l取顺时针方向在L与l所围
