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1、林天军拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用5140309331 F1403014摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方 程, 这样的电路称二阶电路。用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、 难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等1 普拉斯变换，将时域函数转化为复频域函数(S数)，待确定响应后再用拉氏反 变换得到时域响应即最后的解。这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。一、前言 拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。他能将时域中的微 分运算以及积分运算分
2、别变换为复频域(S域)中的乘法及除法，从而将时域中 的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分 析计算变的简单有效。1. 拉氏变换设时域函数f (t)在区间0，g )内的定积分为f (tl-stdt而式中，其复 0频率为s二 + j。若该积分在S某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为F(s)二f (t)e-stdt则复频域函数F(s)定义为时域函数f (t)的拉普拉斯 0变换一(简称拉氏变换)，简记为F(s) 乂 f (t)，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-可以计及t=0时的f (t)中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便2。2.
3、 拉普拉斯变换的基本性质( 1 )线性性质若E f (t) = F (s)，匕f (t) = F (s)，则对任意常数a及a (实数或虚数)1 1 2 2 1 2有 2 a f (t) + a f (t)二 a gf (t) + a f (t)二 aF (s) + a F (s)1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( 2)微分性质若2f(t) = F(s)，则2$f (t) = sF(s) f(0 )dt( 3)积分性质若 2 f (t) = F(s)，则 2f (t )dT =1F(s)0s( 4)时移性质若 gf (t) = F(s)，则f (t-t ) = e-stF(s)(5
4、)频移性质若 g f (t)二 F(s)，则 g ef (t)二 F (s a)3. 拉普拉斯逆变换复频域的象函数F(s),与因子est相乘,构成一个s的新函数F(s)est,再从 (g-j&)到(b + j&)对s求定积分，将积分值除以2兀j，即得原函数f (t)。这定 积 分 称 为 拉 普 拉 斯 反 变 换 , 简 称 拉 普 拉 斯 逆 变 换 ， 即 f (t) = g-iF& =)才LI b+F s estds由该式可以将s域电路的象函数F(s)再转2 兀 J g-化为时域函数 f(t)。4. 电路的基本定理的复频域形式 将电路的时域形式转变为复频域形式后 ， 其电路元件模型和电
5、路特性方程有如 下形式。(1) 电阻元件 在复频域中，电阻电压的象函数与电阻电流的象函数之间也服从欧姆定律，即U (s)二RI (s)，模型如下图1所示。RRI ( s )R图 1.电阻元件复邻域形式(2) 电容元件在复频域中，电容元件电压-电流关系的复频域形式为I (s)二sCU (s)-Cu (0 )或c c c -U (s) = us(-)cs+ sC1(s)，其复频域的戴维宁模型、诺顿模型如图2所示。u (0 )c sCu (0 )CsCI ( s)复频域戴维宁模型复频域诺顿模型图 2.3)电感元件在复频域中，电感元件电压-电流关系的复频域形式为U (s)二sLI (s) - Li (
6、0 )或LLL -(0)+丄U (s)其复频域的戴维宁模型、诺顿模型如图3所丐。(0)L(s)=花sL LLi (0 ) (s) sL 人. + UL ( s )I (s)1/ sL-f*Y*Y*.+UL ( s )图 3.复频域戴维宁模型复频域诺顿模型5. 应用举例例：已知U (0 ) = 0，输入信号为 (t)和5 (t)，求：U (t) ？c -C100MtC十50二二 u5 (t)1F _CT该题目用一般来求解十分复杂，若用拉普拉斯变换出发，则就显得十分简单。解：运算电路中将电压源转换成电流源。如图所示1 +10 s10 s电流源CU (0 ) = 0，为开路。c -根据KCL,节点分
7、析法：-+ Cs | U (s)=Uc( s)二1+10ss(3+10s)1s +-10735I10丿123-_3s +-105丿Cu (t) =-1 u (s)= + ei0 8 (t)CC (33 丿6.总结拉普拉斯变换的根源来自拉普拉斯，从19世纪末英国工程师赫委赛德(Heaviside) 所发明的算子发展而来，今天广泛的应用在电路分析、信号处理等领域。简化了 许多繁琐的运算，提高了工作效率，促进了科学的发展3。7.参考文献1姚仲兴, 电路分析导论, 浙江大学出版社2陈洪亮、张峰、田社平.电路基础.高等教育出版社.( 2007：249-250)3邱关源主编.电路.(第四版).北京:高等教育出版社1999
