《整理版排列组合的常见题型及其解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整理版排列组合的常见题型及其解法（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些根本的排列、组合问题的类型与解法对学好这局部知识很重要。一. 特殊元素位置用优先法把有限制条件的元素位置称为特殊元素位置，对于这类问题一般采取特殊元素位置优先安排的方法。例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素位置这类问题常采取特殊元素位置优先安排的方法。解法1：元素分析法因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站
2、在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：480种解法2：位置分析法因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人含甲站在中间4个位置，有种，故站法共有：种二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：种。三. 相离问题用插空法元素相离即不相邻问题，可以先
3、将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：种四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即假设n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，那么有种排列方法。例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数
4、有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：个五. 分排问题用直排法对于把几个元素分成假设干排的排列问题，假设没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，那么不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。六. 复杂问题用排除法对于某些比拟复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例6. 四面体的顶点和各棱
5、中点共有10个点，取其中4个不共面的点，那么不同的取法共有 A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱，它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：种。七. 多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的假设干类，分别计算，最后计算总数。例7. 直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0
6、，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。1假设c0，a，b各有3种取法，排除2个重复，故有：3327条。2假设，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436条。从而符合要求的直线共有：73643条八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例8. 将431解：可分两步进行：第一步先将41，1，2，2，1，1，1，2，1，共有：3种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：种。因此共有36种方案。九. 隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：种
