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1、数学实验综合实验报告实验名称综合实验（Kalman滤波）2016年 5月一、【实验目的】明白滤波计算流程能够调用相关函数进行数据处理 使用循环函数和二维曲线画图 有效的构建仿真模型，产生模拟数据二、【实验原理分析】卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm (最优化自回归数据处理算法)”。对于 解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30 年，包括机器人导 航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处 理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。设
2、系统可用一个线性随机微分方程来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多 模型系统，他们为矩阵o Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k) 和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声，他们的协方差分别是Q，R (这里假设他们 不随系统状态变化而变化)。对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处 理器。首先要利用系统的过程模型，来预
3、测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型， 可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)式(1)中，X(klk-l)是利用上一状态预测的结果，X(k-llk-l)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控 制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的 协方差还没更新。我们用P表示协方差：P(klk-1)=A P(k-1lk-1) A+Q (2)式(2)中，P(klk-1 )是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1lk-1)是X(k-1|k-1)对应的协方
4、差，A表示A的转置矩 阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(klk)：X(klk)= X(klk-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(klk-l) (3)其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(klk-l) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)到现在为止，我们已经得到了 k状态下最优的估算值X(klk)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下 去直到系统过程结束，我们还要
5、更新k状态下X(klk)的协方差：P(klk)=(I-Kg(k) H)P(klk-l) (5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，1=1。当系统进入k+1状态时，P(klk)就是式子的P(k-llk-l)。 这样，算法就可以自回归的运算下去。、MATLAB中已经给出了滤波函数，以下为直接调用方法：设线性系统为上=啟I F I Cw,y = CX F Du I Hw I v其调用格式为kest, L, P=kalman (sys, Qn, Rn, Nn)kest, L, P=kalman(sys, Qn, Rn, Nn, sensors, known)kest,L,P,M,Z=kalman(sy
6、s,Qn,Rn,Nn)最后一种调用格式只限于离散系统、三、【实验内容及数据来源】已知离散系统-U.王出 0 41 -x址+i = 0401 0-391 0/391 疋昶 + 疤腰-0.992 0401 0.296第一式为系统方程，第二式为观测方程，卫表示状态量X的第二个分量、e与v是互不相关的高斯白噪声、1(2假设心的真值兀丄-，由此系统方程构造出k=1,2,.3O的数据抵，构造时加上系统噪声干扰，再由-1.3观测方程构造出观测数据并加观测噪声干扰，并以此作为仿真数据。用Kalman滤波对仿真数据进行滤波处理，并与真实结果比较、四、【实验程序】%系统描述% xn+1=Axn+Bun+Gwn%
7、yn=Cxn+Dun+Hwn+vn% 状态转移矩阵A=0.49 0.298 0.4120.401 -0.391 0.391-0.992 0.401 0.296;% B矩阵B=zeros(3,3);% G矩阵G=eye(3,3);% C矩阵向量C=0 1 0;D=0 0 0;H=zeros(1,3);% 状态向量初值(真值)x(:,1)=10.9 8.481 -4.3;% 状态向量初始估计值guji=20.1 21.3 20.7;% 进入循环for i=2:30%c产生正态分布数据w=randn(3,1);v=randn(1,1);%真实数据 x(:,i)=A*x(:,i-1);%人为制造系统误
8、差x1(:,i)=x(:,i)+w;Qn=eye(2,2);Rn=1;Nn=0;%人为制造观测数据的误差z0(:,i)=C*x1(:,i)+v;%建立Kalman的系统参数sys=ss(A,B,G,C,D,H,-1);kest,L,P,M,Z=kalman(sys,Qn,Rn,Nn);%得到估计数据 guji(:,i)=A*guji(:,i-1)+L*(z0(:,i)-C*A*guji(:,i-1);endsubplot(2,2,1)% 做出真值曲线 x1plot(x(1,:)hold on% 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x1plot(guji(1,:),:m)hold offleg
9、end(real of x1,estimate of x1)gridsubplot(2,2,2)% 做出真值曲线 x2plot(x(2,:)hold on% 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x2plot(guji(2,:),:m)hold offlegend(real of x2,estimate of x2)gridsubplot(2,2,3:4)% 做出真值曲线 x2plot(x(3,:)hold on% 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x3plot(guji(3,:),:m)hold offlegend(real of x1,estimate of x1)grid五、【实验结
10、果】为了阐述kalman滤波的基本计算思路，在试验中选择了最简单的一种系统模型，线性定常动力系 统。在实际应用中很多时候面对的都是非线性而且时变系统，这有时候性质要复杂一些。最后的结果信息我们反映在图9.2中，这只是结果的直观反应，更多的时候需要的是计算结果。表9.1 中给出了真实的运动轨迹。图1.1Kalman滤波处理的与真实值的比较表1.1真实的运动状态数据时间序列第一个分量第二个分量第三个分量110.98.481-4.326.096738-0.626471-8.6847193-0.777390966-0.70598303-8.8698557914-4.245685102-3.503808
11、027-2.1374046715-4.005131216-1.1682560142.174020826-1.41495685102-0.2992273764.14812966870.926530241.1715184422.5114945581.8378480680.8954692850.29406328491.2885494730.501827329-1.377019368100.213601806-0.21792072-1.48460605111-0.571933183-0.40961964-0.73872259212-0.70666762-0.358024460.18443835413-
12、0.376969821-0.0712707550.612040224140.0462066750.1160096940.526538396150.2741459790.1790455990.156538231160.2521808690.101132157-0.153820209170.0903320820.001438153-0.25514020918-0.060426476-0.064098975-0.16455422819-0.11650681-0.063509021-0.01446867620-0.08197512-0.0275444560.0858249121-0.013016194
13、0.0114553990.095678165220.0364551780.0277116080.045826416230.045001580.021701416-0.011486563240.0237853320.005069134-0.03933932225-0.003042386-0.007825788-0.03320676626-0.017504042-0.011143959-0.00994929727-0.015996991-0.0065520080.0099502928-0.0056915043.76E-050.016186945290.0038913910.0040320990.0
14、10452388300.0074147310.0040707810.000850519表 1.2 给出了三个分量的滤波处理结果。如果对比表 1.1 与表 1.2，可以看出在序列靠后的地方真实 状态与估计状态的绝对误差是比较小的。表 1.2 Kalman 滤波处理结果时间序列第一个分量第二个分量第三个分量120.121.320.7222.72524889.494219162-6.316169216310.406516233.728682279-21.105630164-1.788182459-6.118879723-14.710902865-8.614322881-4.198556849-4.9577776266-6.763631785-4.3780776395.7870306767-2.3574079941.
