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1、考点42 抛物线一、选择题1. (2013四川高考文科5)抛物线的焦点到直线的距离是( )A. B. C. D. 【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选D,抛物线的焦点到直线的距离,根据点到直线的距离公式可得,故选D.2.(2013北京高考理科7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。【解析】选C。的方程是,所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值: .3.(2013新课标全国
2、高考文科10)设抛物线的焦点为,直线过且与交于,两点。若,则的方程为( )A.或B.或C.或D.或【解题指南】设出A、B点的坐标,利用抛物线的定义表示出,再利用,确立的方程.【解析】选C. 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2,因为|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以x1=3,x2=,当x1=3时,所以此时,若,则,此时,此时直线方程为。若,则,此时,此时直线方程为.4.(2013新课标全国高考理科T11)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点
3、M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x【解题指南】结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.【解析】选C.由题意知:F,准线方程为,则由抛物线的定义知,xM=,设以MF为直径的圆的圆心为,所以圆的方程为又因为过点(0,2),所以yM=4,又因为点M在C上,所以16=2p,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x,故选C.5. (2013大纲版全国卷高考文科12)与(2013大纲版全国卷高考理科11)
4、相同已知抛物线,两点,若,则( )A.B.C.D.【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于的一元二次方程,利用根与系数关系代入求解.【解析】选D.由题意知直线的方程为,将其代入到得,设,则,又,因为,所以,即.由得,.二、 填空题6.(2013北京高考文科9)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)则p=_;准线方程为_【解题指南】利用抛物线的标准方程求解。【解析】。【答案】2,7.(2013浙江高考理科T15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.【
5、解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.【解析】设直线l:y=k(x+1),由消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=1,设AB的中点Q(x0,y0),则,因为|FQ|=2,F(1,0),所以,所以k2=1,k=1.【答案】1.三、解答题8.(2013福建高考理科T18)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为,点C的坐标为,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点(1)求证:点都在同一条
6、抛物线上,并求抛物线E的方程.(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积之比为41,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=x,设Pi坐标为(x,y),由得:y=x2,即x2=10y,所以Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意:直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10,由得x2-10kx-100=0.此时=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N,设:M(x1,y1),N(x2,y2)
7、,则因为SOCM=4SOCN,所以,又因为x1x20,所以圆心C的坐标为或,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.10. (2013陕西高考理科20)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (1) 求动圆圆心的轨迹C的方程; (2) 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 【解题指南】由弦长的一半,半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程;直线过定点可抓住该题的关键x轴是的角平分线,即解之.【解析】(1) A(4,0),设圆心,设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由
8、几何图像知(2) 设直线l的方程为y=kx+b,联立.设,则若x轴是的角平分线,则 =即k=-b,故直线l的方程为y=k(x-1), 直线l过定点(1,0).11. (2013湖南高考理科21)过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.(1)若,证明;(2)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.【解题指南】(1)先写出过抛物线焦点的直线方程,然后和抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.(2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB|,此即圆M的直径,进而可求出圆M的方程,同理可求出圆N的方程,再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,于是代入条件即可求解.【解析】(1)由题意,抛物线E的焦点为,直线的方程为.由,得,设A,B两点坐标分别为,则是上述方程的两个实数根,从而,所以点M的坐标为,同理可得点N的坐标为,于是,由题设,所以,故.(2)由抛物线的定义得,所以,从而圆M的半径,故圆M的方程为,化简得同理可得圆N的方程为.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为,又,则的方程为,因为,所以点M到直线l的距离,故当时,取最小值,由题设,解得,故所求抛物线E的方程为.内容总结