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1、精品论文连续时间线性耦合的 N-W 型小世界网络的同步孙琳 河北工业大学，天津（300401） E-mail: 摘要:本文研究了 N-W 型小世界网络线性耦合的同步问题我们选取 N-W 型小世界网络为原型，建立了连续线性耦合的 Ro&ssler 动态网络模型，并根据汪-陈引理对该系统进行稳 定性分析， 发现在一定条件下此模型上的 Rossler 混沌动态系统可以很快达到稳定性同步。 并通过数值模拟计算，得出了达到同步时最小耦合强度与耦合概率需满足一定反比关系，且此同步具有鲁棒性。 关键词:小世界；复杂网络；同步；鲁棒性Pacc:05451. 引言从 20 世纪末开始,复杂网络研究逐渐渗透到数理
2、科学、生命科学和工程科学等众多领域 具有广阔的发展空间。同步现象在自然界中俯拾皆是。自 1990 年佩考拉和卡罗尔提出混沌 同步的思想以来 1 ，混沌同步的研究蓬勃发展.,对复杂网络的研究也逐渐成为一个热点问题。1998 年Watts 和 Newman 引入 N-w 小世界模型 2 ,它的原始模型描述如下：取一个含有 N 个节点的一维环状格子，每个节点仅仅和它最近邻的 k （ k 为偶数）个节点相连,然后在没 有连边的任意两个节点之间以概率 P 增加一条边如图 1 所示。2002 年汪小帆和陈关荣发现 通过随机连边只要节点数足够大网络就可达到同步 3 ,本文将进一步讨论型小世界网络的同 步问题
3、。图 1 N-w 型小世界网络构造图Fig.1Construction plan of n-w small-world network2. 连续动力系统的完全同步判据考虑一个连续时间线性耦合的小世界动力系统,整了个动态网络的状态方程可写为N- 1 -X& i =f ( xi ) + aij Gx j , i = 1, 2,L, N （1）3 4j =1内部耦合矩阵取为对角阵 G = diag (r1 , r2 ,L, rn ) Rnn ，它描述了耦合节点变量具体的连接关系。如果节点振荡器 i 连接到节点振荡器 j 上，那么有 Gij = G ji = 1 ;否则的话 Gij = G ji =
4、0 ;对于所有的节点有 Gii = k 。定义如下式。kii = j0Gij = 1j = iotherwise(2)其中 ki 是节点 i 的度， i 是与节点 i 相邻的节点的集合。令 0 2 3 4 LN 为耦合矩阵 G 的特征值，设有 n n 阶对角阵 D 0 以及两个常数 d 0 和 0 ，使得2nDf (s(t ) + d T D + D Df (s(t ) + d I（3）对所有 d d 都成立,I Rnn 是单位矩阵。如果 d （4）则同步流形指数稳定。其n中 d 是使单个节点的自反馈系统的原点指数稳定所需的反馈强度的最小值。由于 2 0 ，d 0 ,不等式（4）等价于 d2力
5、.（5）可见在特定的耦合方式下, 2 反映了网络的同步能3. N-w 型小世界动力系统考虑一个三维的通过 X 变量连续时间线性耦合的 Ro&ssler 动力系统X& i = (Y + Z) + kY& ii= X + aYZ& i = b + Z(X c) Gij X jj（6）这里我们取 a=b=0.2,c=5.7，保证每个节点未耦合前都处于混沌态； 为耦合强度； ki 为节点 i 的度， ki可以看作为两部分：最近邻耦合的节点的度 ki 和随机连接的节点的度 k i ，G 也可以分为两部分 G 和 GijijX& i= (Y + Z) +G X+G Xijj ijjY& i= X + aY
6、kijkij（7）Z& i = b + Z(X c)首先构造一个含有 N 个节点的最近邻耦合网络,它们围成一个环,其中每个节点都与它左i右相临的各 k 2 节点相连，以概率 P, ( p 0,1) 和其它节点随机连接，并以 0,1 的耦合强度来耦合。整个系统的各节点的状态方程可写为： N N X&= (Y + Z ) + G ( X X ) + p G ( X X )i k j =1ij j ik j =1, j i , j i 1Lk ij j iY&i = X + aYZ&i = b + Z ( X c)（8）4. 数值模拟取 100 个节点，近临耦合度为 2 的 N-w 型小世界网络，先
7、给100 个节点在0,1 的范围 内随机赋初值，去掉暂态后，发现随机耦合概率 p 取不同值时，网络具有不同的同步能力。(1) p = 0 即最近邻耦合网络。2= 4 sin 2 (100) = 0.0039 ,通过数字实验 d = 0.218 ,而 ( 0,1) ,显然(4)无法满足,无法达到同步状态.此时网络同步化能力很低。任意两节点的 x 分量差值的时变图和任意节点的相空间轨迹如图 1 和图 2 所示：图 2 p=0， = 1 时任意两节点的 x 分量的差值随时间的变化Fig.2 p=0, = 1 The x amount margin of Any two nodes changes w
8、ith time.图 3 p=0， = 1 时任意节点的相空间轨迹Fig.3 p=0, = 1the space orbit of an Arbitrary node（2）小世界网络的随机连接概率 p 0,1 ，随着概率 P 的增加，随机边的连接数也不断增加, 2 ( p ) 不断变小最后趋于 100 ,同步化能力不断增强,所需的最小耦合强度减小.可见 P与 min 成反比关系.通过数字模拟实验，发现在 p = 1时， 0.21 网络可达到同步状态。最大耦合强度 = 1 时, p 0.22 整个网络才有可能达到同步。 p 取初值 0.22,步长为 0.01,应 用 4 阶龙革库塔方法可得 p
9、min 的关系如图 3 所示:图 4 随机连边概率 p 与最小耦合强度 min 的关系图Fig.4the relationship between the minimum coupled strengthand the random coupled probability从上面的分析中，我们可以知道，与最近邻耦合网络相比，由于长程路径的加入，可以 加快网络中各节点信息的传递，使得 NW 型小世界网络中各节点很快达到同步.(3)取 p = 0.5, = 0.6 ,在 T = 200 的时候，我们给系统性中随机选取的一个节点上加上一个 很小的扰动 = 0.005 ，观察网络系统中任意两节点 x 变
10、量差随时间 T 的演化图(图 4)和任意节点的相空间轨迹(图 5)。可见网络具有鲁棒性，各节点为稳定性同步。图 5 p = 0.5, = 0.6 任意两节点 x 变量差的时变图 Fig.5 p = 0.5, = 0.6 The x amount margin of Any twonodes changes with time5. 结论图 6 任意节点的相空间轨迹Fig.6 the space orbit of an arbitrary node从上面的数字实验和同步稳定性分析，我们可以得到上述 N = 100, k = 2 的 NW 型小世 界网络的同步性质，当 P = 0 时，为 k = 2
11、 的最近邻耦合网络模型。无论耦合强度 多大，整个网络系统都无法实现同步。但是随着概率 P 的增加，网络的次最大特征值降低,同步能力显著增强,可见网络系统中长程连接能够起到一个宏观调控的作用，它们可以加速整个网 络系统中各节点之间的信息交流，并且我们发现达到同步的最低耦合强度与连接概率满足一定反比关系，当耦合强度 大于某一个特定值得时候，整个网络系统中各节点的运动状态能够达到同步，该同步具有鲁棒性。参考文献1L.M.Pecora and T.L.Carroll, synchronization in chaotic system:Phys.Rev.Letter, 1990,64,821-824.
12、 2 M.E.J. Newman, D.J. Watts, Renormalization group analysis of the small-worldnetwork model: Physics Letters A ,1999,263 ,341346.3X.F.Wang and G.Chen, Synchronization in small-world dynamical networks: Int.J.Bifurcation Chaos, 2002,12(1),187-192.4 X.F. Wang and G.R. Chen, Synchronization in scale-f
13、ree dynamical networks: Robustness,and fragility, IEEE Trans. Circuits Syst. I, 2002,49,54-62.5汪小帆,李翔,陈关荣,复杂网络理论及其应用,清华大学出版社,2005,195-202.6 R.E. Amritkar, Sarika Jalan,Coupled dynamics on networks: Physica A ,2005,346 ,1319.7Barahona.M and Pecora.L.M, synchronization in small-world systems: Phys. Rev.Lett, 2002, 89 (5),054101.8H.Hong and M.Y.Choi,synchronization on small-world networks:phys.Rev.E, ,65,026139.synchronization in N-w small world network
