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1、高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第1讲 国.1.1集合的含义与表示。学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集 合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及 其记法、集合元素的三个特征.。知识要点：1 .把一些元素组成的总体叫作集合(sett),其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性 2 .集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为aa,自,适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为x
2、w A| P(x),既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P(x),适用于无限集. . . -一 一 * .3 .通常用大写才丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N,正整数集N或N +，整数集Z,有理数集 Q,实数集R.4 .元素与集合之间的关系是属于( belong to)与不属于(not belong to ),分别用符号 三、盘表示，例如3= N , -2 N .。例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2 2x3)=0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为：xWR|x(x2 2x3) =0
3、;用列举法表示为0, -1,3.(2)用描述法表示为：xWZ |2 x 7；用列举法表示为3,4,5,6.【例2】用适当的符号填空：已知A=x|x=3k+2,kWZ , B = x| x =6m 1, m w Z,则有：17 A;-5 A;17 B.解：由3k+2=17 ,解得k =5Z ,所以17三A;由 3k+2=-5,解得 k=ZZ,所以-52 a；3由 6m1=17,解得 m=3Z,所以 17B.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：(教材P6练习题2, P13 A组题4)(1) 一次函数y=x+3与y =2x+6的图象的交点组成的集合；(2)二次函数y =x24的函数值组成的集合；2
4、(3)反比例函数y =2的自变量的值组成的集合.y =x 3解：(D (x,y)|f 。+2=(1,4).y - -2x 6(2)y y=x2 -4 =y|y *T.2（3）x| y =_ =x|x #0.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量 .在解题中不能把点的坐标混淆为1,4,也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心*【例4】已知集合A=a| x2*a =1有唯一实数解,试用列举法表示集合 A.x -2解：化方程_二巴=1为：x2 -x-（a +2）=0 ,应分以下三种情况： x -291万程有等根且不是 72 :由4=0
5、,得a =,此时的解为x=,合. 42方程有一解为 金,而另一解不是 _夜：将x =42代入得a = -72 ,此时另一解 x = 1,合.方程有一解为 力,而另一解不是 屐.将x = -J2代入得a = J2 ,此时另一解为 x =72 +1 ,合.综上可知，A = -9, -J2, 72.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象第1练1.1.1集合的含义与表示基础达标1 .以下元素的全体不能够构成集合的是（）A.中国古代四大发明2C.方程x -1 =0的实数解2 .方程组x-2y =3的解集是（2x - y =11A . 15,13B. 4
6、 ,5）B.地球上的小河流D.周长为10cm的三角形）.C. ：5,1,D.。,5 ?3 .给出下列关系： 一WR；J2WQ；3N;0WZ.其中正确的个数是（）.2A. 1B. 2C. 3D. 44 .有下列说法：（1） 0与0表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3, 2, 1; （3）方程（x1）2（x2）=0的所有解的集合可表示为1 ,1,2；（4）集合x4x5是有限集.其中正确的说法是（）.A.只有（1）和（4）B.只有（2）和（3）C.只有（2）D.以上四种说法都不对5 .下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是().A.M=二, N =3.14159B
7、.M=2,3, N =(2,3)C.M=x|-1 x _1,x N, N =1D.M=1, 3,二, N =二,1,|-3 |6 .已知实数a =2 ,集合B =x | -1 x 3,则a与B的关系是 .27 .已知xWR,则集合3, x,x 2x中兀素x所应满足的条件为 .能力提高8 .试选择适当的方法表示下列集合：3（1）二次函数 y =x2 -2x +3的函数值组成的集合；（2）函数y= 的自变量的值组成的集合x -249,已知集合 A=x=N|= Z,试用列举法表示集合 A.x 3探究创新10 .给出下列集合:(x, y)|x*1, ywi , xw 2,J(x,y) 0幻或匕2; y
8、 #1 y #4其中不能表示“在直角坐标系yw-3； 1(x,y) lx#1 且X#2；，“y*1 7丰(x, y)|(x-1)2+(y-l)2 (x-2)2+(y+3)2w0 .xOy平面内，除去点(1,1), (2,-3)之外的所有点的集合”的序号有.第2讲国.1.2集合间的基本关系。学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含 义；能利用Venn图表达集合间的关系.。知识要点：1 . 一般地，对于两个集合 A、B,如果集合 A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A是集合B的子集(subset),记作AB
9、(或B3A),读作“ A含于B”(或B包含A).2 .如果集合A是集合B的子集(A1B),且集合 B是集合A的子集(B3A),即集合 A与集合B的元素 是一样的，因此集合A与集合B相等，记作 A = B.3 .如果集合AGB,但存在元素xWB,且x皂A,则称集合A是集合B的真子集(proper subset),记作A、B (或B英).4 .不含任何元素的集合叫作空集(empty set),记作0 ,并规定空集是任何集合的子集5 .性质：A = A;若 A=B, B = C,则 A1C;若 aC1b=A,则 A=B；若 AUB=A,则 BA.。例题精讲：【例1】用适当的符号填空：(1) 菱形平行
10、四边形;等腰三角形等边三角形.2(2) 0x=R|x+2 = 0;0 0 ;00 ; N0.解：(1)突，弗；(2) =,6 ,箕，辛.n1【例2】设集合A=x|x= ,n WZ, B=x|x=n+,nW Z，则下列图形能表示 A与B关系的是().22_A b： B A: A_. Bi A ： B_A.B.C,D.解：简单列举两个集合的一些元素，A = 3-1 -10- 1-3 . , B =,2 2 2, 22 222易知B A,故答案选A.2n 1.一另解：由B =x| x=-,n = Z，易知Bt A,故答案选 A .【例3】若集合 M =&|x2 +x6=0,N =x|ax1=0,且N
11、 = M ,求实数a的值.解：由 x2 +x6=0= x=M -3,因此， M =2,-3.(i)若a =0时，得N =0 ,此时，N=M ；(ii)若a #0时，得N =.若N J M，满足=2或1=一3 ,解得a或a =.aa a23故所求实数a的值为0或。或-1 23点评：在考察“ AEB”这一关系时，不要忘记“0 ，因为A=0时存在A2 B.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合 A= a,a+b,a+2b , B= a,ax,ax2.若a=b ,求实数x的值.,_ a 玲=ax22解：右 49 a+ a+ax -2ax=0,所以 a(x-1) =0,
12、即 a=0 或 x=1.a 2b =ax2当a=0时，集合B中的元素均为0,故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去 . .2若 a b=ax = 2ax2-ax-a=0.a 2b = ax因为 a*0,所以 2x2-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0. 又 xw 1,所以只有 x =-.2经检验，此时 A=B成立.综上所述x=_12点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第2练1.1.2集合间的基本关系基础达标1 ,已知集合A=xx=3k,kWZ,B=xx=6k,kWZ,则A与B之间最适合的关系是().A. A 二 BB. A = B
13、C. A= BD. A B2 .设集合 M =x1 x2, N =x|xk W0,若 M N ,则 k 的取值范围是().A. k -1 C. k -1D. k 之23 .若a2,0, f =a,b,0，则 a2007 +b2007 的值为().A. 0B. 1C. -1D. 24 .已知集合 M=x|x= k + - ,k Z, N= x|x= k + 1 , k Z.若 x 6 M ,贝1 x0与 N 的关系是().2 44 2A. xoC NB. x0 正NC. xoCN 或 x。正 ND.不能确定5 .已知集合 P=x|x2=1,集合 Q=x|ax=1,若QGp,那么a的值是().A.
14、 1B. -1C. 1 或1 D. 0,1 或一16 .已知集合 A=a,b,c,则集合A的真子集的个数是 .7 .当1,a,b =0, a2,a+b时，a=, b=. a能力提高228 .已知 A=2,3 , M=2,5, a 3a+5, N=1,3, a 6a+10, am,且 AN,求实数 a 的值.9 .已知集合 A=x-2 x 51, B=xm+1 ExE2m-1.若BJA,求实数m的取值范围探究创新10 .集合S=0 ,1,2,3,4, 5,A是S的一个子集，当 x6 A时，若有x-1正A且x+1更A,则称x为A的一个 “孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的 4元子集.第3讲1.1.3集合的基本运算(一)。学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子 集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作 用.。知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题
