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1、重庆三峡名校联盟高2013级3月联考数学（理科）试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合，则（ ）A B C D 2.已知数列 an 满足a1=，且对任意的正整数m,n，都有am+n= am + an，则等于（ ） A B C D23若是纯虚数，则的值为( )A B C. D.或4.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ ）A B C D5. 已知某三棱锥的三视图（单位:Cm)如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A.6cm3 B.2cm3 C.3 cm3 D.1cm3 否输出结束?是输入M，N开始第7题图6.若在区
2、域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为（ ） A B C D7. 已知， 由如右程序框图输出的（ ）A. B. C. D.8设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（ ）A的图象过点 B.在上是减函数C.的一个对称中心是 ks5uD. 将的图象向右平移个单位得到函数的图象9. 点为双曲线：和圆： 的一个交点，且，其 中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.10. 函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，为坐标原点，则当时，的取值范围为 （ ）A B C D 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分11.12
3、.13为必答题.14.15.16为三选二.若都选.则计14.15题得分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为 .12. .在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则：的最大值为_: 13给出以下命题： 双曲线的渐近线方程为； 命题“，”是真命题； 已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位； 设随机变量服从正态分布，若，则； 已知，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）选做题14.曲线与曲线的交
4、点间距离为 15.如图ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则 16.关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 _ 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第16题图CBDA17.（本小题满分13分）如图，在中，为中点，.记锐角且满足（1）求； （2）求边上高的值18（本小题满分13分）现有长分别为、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根（1）当时,记事件抽取的根钢管中恰有根长度相等，求；（2）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,求的
5、分布列；令，求实数的取值范围19 （本小题满分13分） 如图，四边形PCBM是直角梯形，又，直线AM与直线PC所成的角为（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）当时，方程有实根，求实数的最大值。21（本小题满分12分）已知抛物线和椭圆都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点（1）求这两条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点，点都满足，求的取值范围22.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且 .（1）求的值及数列的通项公式； （2）求证：；（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都
6、成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.三峡名校联盟高2013级3月联考 数学试题答案（理科）一、1-5 CBABD 6-10 ACCBD 二、11. 12. 9/2 13. 14. 2 15. 4 16.17（1）， -6分（2）方法一、由（1）得， ， 7， -10分在中，由正弦定理得：，第16题图CBDAH， -12分则高 -13分方法二、如图，作 边上的高为 在直角中，由（1）可得，则不妨设 则 -9分注意到，则为等腰直角三角形，所以 ，则 -11分所以，即 -13分18.解：(1)事件为随机事件， 4分（2）可能的取值为 23456的分布列为： 9分 11分， 13分19、方法1
7、：（1），平面ABC，5分（2）取BC的中点N，连MN，平面ABC作，交AC的延长线于H，连结MH由三垂线定理得，为二面角的平面角直线AM与直线PC所成的角为，在中，在中，在中，在中，在中，故二面角的余弦值为13分方法2：（1），平面ABC，5分（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设，则5分，且，得，8分设平面MAC的一个法向量为，则由得得10分平面ABC的一个法向量为12分显然，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为13分20.（1）1分因为为的极值点，所以2分即，解得 3分又当时，从而的极值点成立4分（2）若时，方程可化为，问题转化为在上有解，即求函数的值域 7
8、分以下给出两种求函数值域的方法：方法1：因为，令，则， 9分 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数， 10分 因此而，故， 因此当时，取得最大值0 12分方法2：因为，所以设，则当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；因为，故必有，又， 因此必存在实数使得， ，所以上单调递减； 当，所以上单调递增； 当上单调递减； 又因为，当，则，又 因此当时，取得最大值0 12分21解：（1）设抛物线方程为，将代入方程得-2分由题意知椭圆、双曲线的焦点为-3分对于椭圆， ， 所以椭圆方程为-6分（2）设-（7分）由得-（9分） 恒成立-10分则-12分22. (1）由. 当时，解得或（舍去） 2分当时，由，则，是首项为2，公差为2的等差数列，故 4分另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)（2）证法一：，4分当时，. 7分当时，不等式左边显然成立. 8分证法二：，. .4分当时，.7分当时，不等式左边显然成立. 8分（3）由，得，设，则不等式等价于.，9分 ，数列单调递增. 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 当为奇数时，得； 11分 当为偶数时，得，即. 12分综上，由是非零整数，知存在满足条件 12分12
