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1、必修二立体几何总结第一章 空间几何体（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱；四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形 长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体。性质：、侧面都是平行四边形； 、两底面是全等多边形；、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。面积：（是底周长，是高）体积：（为底面积，为高，为已知侧面与它对棱的距离）（2）棱锥：定义：
2、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥；性质：、平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形，实现边，高，斜高间的换算ABCDPOH面积：（为底周长，为斜高）体积：（为底面积，为高）（3）正四面体：对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长
3、为的正方体问题。对棱间的距离为（正方体的边长）正四面体的高（）正四面体的体积为（）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）外接球的半径为（是正方体的外接球，则半径）内切球的半径为（是正四面体中心到四个面的距离，则半径）（4）球（组合体问题转化为平面问题 即过球心的截面）（1）定义：球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球体：球面所围成的几何体。（2）性质：任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）两点的球面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且，其中为球半径，为截面半径，为球心的到截面的距
4、离。（3）面积公式：（为球半径）； （4）体积公式：（为球半径）第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、 平面基本公理：公理1、已知直线及平面，若点，且则；（作用：证明一条直线在一个平面内的依据）公理2、不共线的三点可唯一确定一个平面。其有如下三个推论：推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面；（公理2及推论的作用：空间中确定平面的依据；为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法）公理3、若两个平面有一个公共点，则有且仅有一条过的公共直线；（作用：判定两平面相交；判断点在直线上，证明若干
5、点共线的依据）公理4、（平行公理）平行于同一直线的两直线平行，即且；等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等图9-2-4三垂线定理(如图9-2-4)三垂线定理：平面内的一条直线，如果和斜线在平面上的射影垂直，则直线与垂直；其逆命题也成立，即：三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果和平面的斜线垂直，则直线与在平面上的射影垂直二、 位置关系（位置关系的判定多借助于长方体模型）（1）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；从公共点角度：有且只有一个公共点相交；没有公共点平行或异面；从共面与否的角度：在同一个平面内相交或平行；不同在任何一个平面异面
6、（2）直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况）；相交或平行的情况统称为直线在平面外，记为 ；（3）平面与平面的位置关系： 相交 ； 平行 ；三、 平行与垂直的判定与性质（空间问题转化为平面问题）平行公理线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理三垂线定理（1）线线平行的判断： 平行于同一直线的两直线平行。如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 垂直于同一平面的两直线平行。（2）线线垂直的判断： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线
7、的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。（3）线面平行的判断： 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（4）线面垂直的判断： 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。如果
8、两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。（5）面面平行的判断： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。（6）面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。四、空间角的求法：（步骤：1作 2.证。3.求 所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；（2）线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为； 线面垂直：线面所成的角为；斜线与平面所成的角：范围；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：定义法；三垂线定理法；垂面法；注意：还可以用射影法：；其中为二面角的大小，为内的一个封闭几何图形的面积；为内的一个封闭几何图形在内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。
