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1、量子力学自测题3一、 简答题(每小题5分，共40分)1. 一粒子的波函数为wG)=wG,y,Z)，写出粒子位于x x + dx间的几率。2. 粒子在一维5 势阱V(x) = -y8 (x) (Y 0)中运动，波函数为w (x)，写出w(x)的跃变条件。3. 量子力学中，体系的任意态W (x)可用一组力学量完全集的共同本征态W n(x)展开:W (x) = Zc W (x)，写出展开式系数c的表达式。n4. 给出如下对易关系:Z , P = ?L 2 , s L ?5. 一个电子运动的旋量波函数为W(,s)，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。、
2、6. 何谓几率流密度？写出几率流密度j(r,t)的表达式。7. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？8. 一维运动中，哈密顿量H = P- + V(x)，求L , H = ? p , H = ?2m二、 计算题(共60分。911题各10分；12、13题各15分)9. 在时间t = 0时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态:V (x,0) = u (x) +u (x) + c u (x)，5 0 E 2 23 3式中七（X）是振子的第n个本征函数。(1)(2)(3)试求c 3的数值；写出在r时刻的波函数；10.）为L的本征态，本征值为n方。求在LZ的本征
3、态I n）下，Lx和Ly的平均值。11.氢原子处于状态 wG,七）=1 R Y2 2111T R 21 Y10(1)求轨道角动量的乙分量L的平均值;(2)求自旋角动量的Z分量七的平均值;(3)求总磁矩M = -2-L-fr的分量叩勺平均值。12. 、L分别为电子的自旋和轨道角动量，J = s + L为电子的总角动量。证明:J ,宁-L=0； J2 , J仪=0，a= x, y, z。13.质量为R的粒子受微扰后，在一维势场中运动，兀x一A cos ，0 x aax a8,（1）题中应当把什么看作微扰势？（2）写出未受微扰时的能级和波函数;兀2力2用微扰论计算基态能量到二级近似，其中A = 10
4、。2量子力学自测题3参考答案在t = 0时振子能量的期望值是多少？ t = 1秒时呢?三、简答题(每小题5分，共40分)1. 一粒子的波函数为wG)=wG,y,Z),写出粒子位于x x + dx间的几率。解： dx J dy J dzk (r)|2。-s -s2.粒子在一维5 势阱V(x) = -yS (x)( 0)中运动，波函数为k (x)，写出k(x)的跃变条件。解:(0D 一(0-)= 一料(0)。3.量子力学中，体系的任意态k (x)可用一组力学量完全集的共同本征态k n(x)展开: k (x) = ck n (x)，nn解：cn=k n(x)，k (x)= J k *(x)k (x)
5、dx。n解： L , p = ih写出展开式系数c的表达式。L, pL?Ij . , a L ?L, p = 0L , L = -ihLr y * x z y 心,a = 2q()，k( r ,h/2)5. 一个电子运动的旋量波函数为k (r,sz)=kG -h/2)j，写出表示电子自旋向 上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。解：k( r,h:2)2,J k( r,-h2)2 d3r、6. 何谓几率流密度？写出几率流密度j顷,t）的表达式。解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。j（r,t）= 一也（/ *Vv -仰甲 *） 2m7.
6、 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。8. 一维运动中，哈密顿量H =蔡+ V（x），求L , H = ? Ip , H = 2m解：lx , H =业，p , H =-ih dV（x） mdx二、计算题（共60分。911题各10分；12、13题各15分）9.在时间t = 0时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态:一、了，、 :T ,、,、W (x,0) =u (x) + u (x) + c u (x)，5 02 2-式中Un （x）是振子的第n个本征函数。（1）试求c3的数值；（2
7、）写出在t时刻的波函数；（3）在t = 0时振子能量的平均值是多少?（IT2q 5v 7t = 1秒时呢?解：（1）2+ c2 +1,得T c = C 弋 10。:T7+，一u (x)e-i2T X .T .二 (2)W (x,t) = 5u 0(x)e 一 2 2 u 2(x)e 一2 ，10“3（3）在t = 0时振子能量的平均值是2 5,+ -枷22+7 枷.2t = 1秒时振子能量的平均值也是1;沁。|n :：为L的本征态，本征值为n方。求在L的本征态| n :下, L和L的平均值。X y-1, .1,解：L 3nL，L n/ = 3nL=：(n|L |n)-(n|L |n)L 0,L
8、 = 0。y10.同理，:LLo=:n|LyLnnL L n)11.氢原子处于状态 wG,七)=21Yii解：21 Y10(1) 求轨道角动量的乙分量L的平均值;(2) 求自旋角动量的z分量七的平均值;一 e 一 e求总磁矩M =-2-L-章的z分量,白勺平均值。(1)(2),、2J32) e * e _(3) M = - Ls =812. s、L分别为电子的自旋和轨道角动量，、J = s + L为电子的总角动量。证明:J,如 L =0； J 2, J =0， a = x, y, z。证：J , s - L = L + s , s L + s L + s L xx xxx yy zz=s L
9、, L + s L , L + s , s L + s , s Ly xyz xz, xy yxz z,=ihs L sL + sL s L)= 0。yz zy zy yz*、同理，J , * - L = 0, J , * - L = 0,从而J, * - L =0。yzJ 2, J = J 2, J + J 2,J + J 2, J xx xy xz x=J J , J + J , J J + J J , J + J , J Jyy xy xy zz xz xz=ih- J J J J + J J + J J)= 0。yz zy zy yz同理，J 2, Jy = 0, J 2, J = 0
10、，从而J 2, J a = 0。13.质量为R的粒子受微扰后，在一维势场4 兀xA cos a8,x a中运动。（1）（2）题中应当把什么看作微扰势？ 写出未受微扰时的能级和波函数;(3)用微扰论计算基态能量到二级近似兀2 h 2其中A =10R a 2解：（1）应当把V（x）看作微扰势，即=V (x)=兀xA cos a8,0 x ax a（2）未受微扰时的波函数和能级分别为2 . nKxn2兀2 h2n = 1,2,3,W（。）（x） = ： sin, E（o）= （3）未受微扰时的基态波函数和能量分别为w(0)(x)1互.兀x sin ；a aE(o)=1基态能量的一级修正:E =H11
11、1f 2 -.=sin2ao兀x -A cosa兀x ,2Af 一兀x 兀xdx =sin2d sin a 兀 a a竺sin3 以二0,3兀ao基态能量的二级修正:E(2)E；o）- E（o）H，n1f ：2 . n冗x , 兀x= sin - A cos a aaoA n冗x兀x= sin 2 cos -sin2 .，一sin:a兀x , dx兀x , dxaao aaa=A f sin 竺. sin 丑 d 兀 x兀 aaoA f .= sin ny - sin 2ydy兀 oA 兀 x _ A x万 n 2 =万 n 2所以1(A 2*E.o)- E oA 21.4 M1 -4)2旦a 2pa 26兀2方2兀2方26oo pa 2广 广 广 广兀2力2兀2力2299k 2力2E1=E1(o)+E1(1)+E1(2)=诙-oopar=oopar
