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1、第六章万有引力定律一、基本知识小结1-开普勒定律(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上行星位矢在相等时间内扫过相等面积行星周期平方与半长轴立方成正比T2/Q3=C2. 万有引力定律fGm皿7-23. 引力势能E(厂)=Gm如pr4. 三个宇宙速度环绕速度y=Kg=1.9km/s1脱离速度y=2V=11.2km/s21逃逸速度V3=16.7km/s.二、思考题解答6.1卡文迪什在1798年17卷哲学学报发表他关于引力常测量时，提到他实验是为测定出地球的密度。试为什么测出G,就能测出地球的密度？答：设地面物体质量为m,地球质量为M,地球半径为R则二者之间的万有引力约为：pFGW厂七第6
2、章万有引力定律由上式可以看出R,g都是可测量量，只要测出G,就能通过上间接测出地球密度。6.2你有什么办法用至少那些可测量量求出地球质量、太阳质量、及地球太阳之间的距离？答：1）地球质量：设地面物体质量为m,地球质量为M,地球半径为RMmt-=mg则二者之间的万有引力约为：应#第6章万有引力定律因此，只要测出了地球半径R,就能求出地球质量M。2）地球太阳之间的距离：设地球绕太阳运动的周期为尸，轨道半径为，太阳系的另一行星（离地球越近越好）的周期为啦，轨道半径为心，根据开普勒第三定-I-口_-I-口F7_律有I0=r，即吒，由于人类早就对行星进行长期观测了，喘,p为已知，只需测出另一行星的轨道半
3、径心（这一距离需用视差法测量，需两个以上的天文台同时测量），便可知地球太阳之间的距离r。3）太阳的质量：设太阳质量为M,地球质量为m,地球太阳之间的距离r,则二者之间的万有引力约为：Mm=mg:,M=G创此只需测得地球太阳之间的距离r,#第6章万有引力定律#第6章万有引力定律就可求出太阳质量为Mo#第6章万有引力定律#6第6章万有引力定律#三、习题解答6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为t=271V2R证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度：-4兀2人/卩2由自由落体公式：
4、R-+at2,t_2R/a=t22k（此题原来答案是：t=T,这里的更正与解答仅供参考）426.2.1土星质量为5.7X1026kg,太阳质量为2.0X1030kg,两者的平均距离是1.4X1012m.太阳对土星的引力有多大？设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。解：据万有引力定律，太阳与土星之间的引力f=GMm/r2=6.51X10-nX2.0X1030X5.7X1026/（1.4X1012）23.8X1022N选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv2/rvfr/m=3.8x1022x1.4x012/5.7x10269.7x103m/s6.2.3一个球形物体以角速度3转动，如果仅
5、有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（2X1030kg或3X105Me，Me为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是6第6章万有引力定律多少？若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2X10i7kg/m3.解：设此球体半径为R,质量为m.考虑球体赤道上的质元4m,它所受到的离心惯性力最大mw2R,若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力，即GmAm/R2=AmOO:.2R3/G,而m=4TTR3p/3,代如上式，可求得，P=4t
6、iG脉冲星的最小密度P二3X35)2Q1.3X1014kg【m34kx6.51x10-ii据密度公式，m=pV=4ttR3p/3,；R3=3m/(4TTp)R=33x2x1030/(4x3.14x1.3x1014)=1.5x102Am(3)7?=33x2x1030/(4x3.14x1.2x1017)=16km6.2.4距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质量。解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m；太阳距银河系中心的距离为r=2.5X104
7、光年=2.5X104X365X24X60光分=1.31X106光分，绕银河系中心公转角速度为w=10-8X2tt/1.7年；地球距太阳的距离为r=8光分，绕太阳公转角速度为3=2tt/年分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律：Gmm/r2=mw2r(1)GMm/r2=mW2r(2)由(1)可得G=W2r3/m,代入(2)中，可求得M=(-)2(-)3m=(i)2(1.31x106)3m=1.53x10nm1.7x10886.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s,近日点的#第6章万有引力定律#速度为80km/so若地球在半径为1.5X108km圆周轨道上绕日运动,速度为3
8、0km/So求此彗星的远日点距离。解：角动量守恒mva=mvb(1)12能量守恒=mv2-Gl(2)21q22b牛二定律=mV(3)R2R(1),(2),联立，解得a=3X108km6.2.6一匀质细杆长L,质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力(亦称引力场强度)。解：选图示坐标0-x,单位质晋曲t2量质点在坐标原点处，在杆上取T明d质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对原点处质点的引力为：df=Gm=砂缶，由于各质元对质点的引x2Lx2力方向均沿X轴正向，.杆对质点的引力方向沿X轴正向，大小为f=-Gd+Lx-dx=-GM-4-Id=-GM-(+i)GMLiLxLdd+Ld(d+_
9、L)ad+L6.2.7半径为R的细半圆环线密度为入，求位于圆心处单位质量质点受到的引力(引力场强度)解：由对称性分析可知，引力场强度的x分量等于零。质元dm=ARd6所受引力的y分量为二G匕如sinB二sinOdByR2R第6章万有引力定律、-sin0tZ0-lcos0hvRR0o=-2Gl/R6.3.1考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V,赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。解：设行星半径为R,质量为M,粒子m在极点处脱离行星所需的速度为v,在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有+mv2QMjiL=0即V2-2GM/R(1)2R以球形行星为参考系(
10、匀速转动参考系)，设粒子m在赤道上和极点上的加速度分别为ax和a2o粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二定律有G-m=ma即GM-RV2=a(2)R2Rii粒子m在极点上只受引力作用，由牛二定律有G=ma即GM=aR2(3)R222已知a=2a(4)21由(2)、可求得GMIR=2V2代入中，得V2=4V2v=2V#第6章万有引力定律#6.3.2已知地球表面的重力加速度为9.8ms-2,围绕地球的大圆周长为4X107m,月球与地球的直径及质量之比分别是DID=0.27和M/M=0.0123.试计算从月球表面逃离月球meme引力场所必需的最小速度。解：设质点m脱离月球的速度为v,在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有1 M肌mv2-Gm=0/.v2=2GM/R(1)2 Rmmm将M=0.0123MR=0.27R代入中，有memeU2=O.O91GM/R(2)ee由牛二定律GMmlR2=mg,:.GM/R=Rgeeeee代入中，有V2=0.09LRge:.v=0.091x9.8x4x107/2兀=2.38(加st)
